Question

15．如圖，一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點P，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于點C，點D．且
OA=OB，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，則m=-4，$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由一次函數(shù)y=kx+1的圖象交y軸于點D，得出點D的坐標為（0，1）；設OC=a，根據(jù)$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$得到CA=2OC=2a，那么OA=3a=OB，P（3a，-3a）．根據(jù)△DOC∽△DBP，利用相似三角形對應邊成比例得出$\frac{1}{1+3a}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，求出a=$\frac{2}{3}$，那么P（2，-2），再根據(jù)待定系數(shù)法求出m=2×（-2）=-4；根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方得出$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=（$\frac{AP}{DB}$）²=$\frac{4}{9}$．

解答 解：∵一次函數(shù)y=kx+1的圖象交y軸于點D，
令x=0，得y=1，
∴點D的坐標為（0，1）；
設OC=a，則CA=2OC=2a，OA=3a=OB，P（3a，-3a）．
∵OC∥BP，
∴△DOC∽△DBP，
∴$\frac{DO}{DB}$=$\frac{OC}{BP}$，即$\frac{1}{1+3a}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{2}{3}$，
∴P（2，-2）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象過點P，
∴m=2×（-2）=-4；
$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△DPB}}$=（$\frac{AP}{DB}$）²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$．
故答案為-4；$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的面積求法等知識，求出點P的坐標是解題的關鍵．