Question

3．如圖，在坡度i=1：$\sqrt{3}$的斜坡AB上立有一電線桿EF，工程師在點A處測得E的仰角為60°，沿斜坡前進20米到達(dá)B，此時測得點E的仰角為15°，現(xiàn)要在斜坡AB上找一點P，在P處安裝一根拉繩PE來固定電線桿，以使EF保持豎直，為使拉繩PE最短，則FP的長度約為（　�。�（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

• A． 3.7米
• B． 3.9米
• C． 4.2米
• D． 5.7米

Answer 1

分析 要使點E到AB的距離最短，則EP⊥AB，根據(jù)題目中的信息可以求得FP的長度，本題得以解決．

解答 解：作BD∥AC，如右圖所示，
∵斜坡AB的坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAC=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠EAF=30°，
∵要使點E到AB的距離最短，
∴EP⊥AB于點P，
∴tan∠EAP=$\frac{EP}{AP}$，
∴AP=$\frac{EP}{tan30°}$，
∵∠EBD=15°，BD∥AC，
∴∠DBA=∠BAC=30°，
∴∠EBP=45°，
∴EP=PB，
∵AP+PB=AB=20米，
∴$\frac{EP}{tan30°}$+EP=20，
解得，EP=10$\sqrt{3}$-10，
又∵EF∥BC，∠B=90°-∠BAC=60°，
∴∠EFP=60°，
∵tan∠EFP=$\frac{EP}{PF}$，
即tan60°=$\frac{10\sqrt{3}-10}{PF}$，
解得，PF≈4.2米，
故選C．

點評 本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用特殊角的三角函數(shù)進行解答，注意挖掘題目中的隱含條件．