Question

【題目】如圖，拋物線過A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三點，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為﹣2，點P（m，n）是線段AD上的動點，過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q．

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點（橫、縱坐標都為整數(shù)）R，使得P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1），當m＝﹣時，PQ最長，最大值為；（3）存在，符合條件的點R共有6個，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3過A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出拋物線的解析式，點D在拋物線上且橫坐標為﹣2，可求點D的坐標，根據(jù)A、D兩點坐標，用待定系數(shù)法可求直線AD的解析式；

（2）點P在AD上，點Q在拋物線上，當橫坐標為m時，相應的縱坐標可以根據(jù)解析式表示出來，而PQ的長l就是P點、Q點縱坐標的差，于是可以得到l與m的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的最值，可求m為何值時，PQ最長，PQ的最大值也能求出；

（3）使P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形，可以分兩種情況：一是PQ為一邊時，點R必在直線x＝﹣2上，再根據(jù)PQ為最大值以下的整數(shù)值，得到PQ的整數(shù)值，在直線x＝﹣2上可以找到點R的位置，確定點R的坐標，得出在點D上方存在，在點D下方也存在；二是PQ為一條對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，PQ與DR互相平分，此時R與C 重合．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，

當x＝﹣2時，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

設直線AD的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：，

∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；

因此直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵點P在直線AD上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴當m＝﹣＝時，PQ的長l最大＝﹣（﹣）2﹣（﹣）+2＝．

答：線段PQ的長度l與m的關(guān)系式為：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

當m＝﹣時，PQ最長，最大值為．

（3）①若PQ為平行四邊形的一邊，則R一定在直線x＝﹣2上，如圖：

∵PQ的長為0＜PQ≤的整數(shù)，

∴PQ＝1或PQ＝2，

當PQ＝1時，則DR＝1，此時，在點D上方有R1（﹣2，﹣2），在點D下方有R2（﹣2，﹣4）；

當PQ＝2時，則DR＝2，此時，在點D上方有R3（﹣2，﹣1），在點D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ為平行四邊形的一條對角線，則PQ與DR互相平分，

當PQ＝1時，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此時x不是整數(shù)，

當PQ＝2時，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此時x1＝﹣1，x2＝0；當x1＝﹣1，R與點C重合，即R5（0，﹣3），當x2＝0；此時R6（2，﹣1）

綜上所述，符合條件的點R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），

R6（2，﹣1）．

答：符合條件的點R共有6個，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．