Question

【題目】如圖，線段AB繞著點A逆時針方向旋轉120°得到線段AC，點B對應點C，在∠BAC的內部有一點P，PA＝8，PB＝4，PC＝4，則線段AB的長為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

將△ABP繞點A逆時針旋轉120°，得到△ACD，連接PD，過點A作AH⊥PD于H，利用等腰三角形的性質及通過解直角三角形求出AH，PH，DH，PD的長，利用勾股定理的逆定理證明△PDC為直角三角形，再證△DMC∽△HMA，其對應邊相等，可推出AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，在Rt△DMC中，通過勾股定理求出CM的長，可推出AB＝AC＝2CM＝4．

如圖，將△ABP繞點A逆時針旋轉120°，得到△ACD，連接PD，過點A作AH⊥PD于H，

則△ABP≌△ACD，∠PAD＝120°，

∴PA＝DA＝8，PB＝DC＝4，∠APH＝∠ADH＝30°，

∴AH＝AP＝4，

∴PH＝DH＝=4，

∴PD＝2PH＝8，

在△PDC中，

PD2+CD2＝(8)2+42＝208，

PC2＝(4)2＝208，

∴PD2+CD2＝PC2，

∴△PDC為直角三角形，且∠PDC＝90°，

∴∠AHD＝∠PDC，

∴AH∥DC，

∴△DMC∽△HMA，

∵DC＝AH＝4，

∴AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，

∴在Rt△DMC中，

CM＝＝2，

∴AB＝AC＝2CM＝4，

故答案為：4．