Question

【題目】△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，點O為邊AB上一動點，以O為圓心，OB為半徑的圓交射線BC于點E，以A為圓心，OB為半徑的圓交射線AC于點G．

(1)如圖1，當點E、G分別在邊BC、AC上，且CE＝CG時，請判斷圓A與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)當圓O與圓A存在公共弦MN時(如圖2)，設(shè)OB＝x，MN＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)設(shè)圓A與邊AB的交點為F，聯(lián)結(jié)OE、EF，當△OEF為以OE為腰的等腰三角形時，求圓O的半徑長．

Answer 1

【答案】(1)圓A與圓O外切，理由見解析；(2)y＝(＜x＜5)；(3)當△OEF為以OE為腰的等腰三角形時，圓O的半徑長為或或5．

【解析】

（1）由三角函數(shù)得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，則PB＝PE，OP∥AC，得出＝，設(shè)PB＝PE＝x，則CG＝CE＝4﹣2x，得出OB＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝，OB═，求出OA＝AB﹣OB＝2OB，即可得出結(jié)論；

（2）連接OM，由相交兩圓的性質(zhì)得出OA與MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝MN＝y，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；

（3）分三種情況：①當圓O與圓A外切，OE＝OF時，圓O與圓A外切，圓O的半徑長OB＝；

②當OE＝FE時，圓O與圓A相交，作EH⊥OF于H，則OF＝OH＝﹣OB，證明△BEH∽△BAC，得出EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③當O與A重合時，OE＝OF，OE＝AB＝5；即可得出結(jié)論．

(1)圓A與圓O外切，理由如下：

∵∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，

作OP⊥BE于P，如圖1所示：

則PB＝PE，OP∥AC，

，

設(shè)PB＝PE＝x，則CG＝CE＝4﹣2x，

解得：x＝，

∴OB═，

∴OA＝AB﹣OB＝5＝2OB，

∴圓A與圓O外切；

(2)連接OM，如圖2所示：

∵圓O與圓A存在公共弦MN，

∴OA與MN垂直平分，

∴∠ODM＝90°，DM＝

由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即

整理得：y2＝3x2+10x﹣25，

∴y＝；

(3)分三種情況：

①當圓O與圓A外切，OE＝OF時，圓O與圓A外切，圓O的半徑長OB＝；

②當OE＝FE時，圓O與圓A相交，如圖3所示：

作EH⊥OF于H，則OF＝OH＝﹣OB，

∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，

∴△BEH∽△BAC，

∴，

∴EH＝，

在Rt△OEH中，由勾股定理得：＝OE2＝OB2，

解得：OB＝；

③當O與A重合時，OE＝OF，F與B重合，OE＝AB＝5；

綜上所述，當△OEF為以OE為腰的等腰三角形時，圓O的半徑長為或或5．