【題目】△ABC中,∠ACB=90°,tanB=,AB=5,點O為邊AB上一動點,以O為圓心,OB為半徑的圓交射線BC于點E,以A為圓心,OB為半徑的圓交射線AC于點G.
(1)如圖1,當(dāng)點E、G分別在邊BC、AC上,且CE=CG時,請判斷圓A與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)圓O與圓A存在公共弦MN時(如圖2),設(shè)OB=x,MN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(3)設(shè)圓A與邊AB的交點為F,聯(lián)結(jié)OE、EF,當(dāng)△OEF為以OE為腰的等腰三角形時,求圓O的半徑長.
【答案】(1)圓A與圓O外切,理由見解析;(2)y=(<x<5);(3)當(dāng)△OEF為以OE為腰的等腰三角形時,圓O的半徑長為或或5.
【解析】
(1)由三角函數(shù)得出AC=3,BC=4,作OP⊥BE于P,則PB=PE,OP∥AC,得出=,設(shè)PB=PE=x,則CG=CE=4﹣2x,得出OB=x,AG=AC﹣CG=2x﹣1,得出方程,得出x=,OB═,求出OA=AB﹣OB=2OB,即可得出結(jié)論;
(2)連接OM,由相交兩圓的性質(zhì)得出OA與MN垂直平分,∠ODM=90°,DM=MN=y,AD=OD=(5﹣x),由勾股定理得出方程,整理即可;
(3)分三種情況:①當(dāng)圓O與圓A外切,OE=OF時,圓O與圓A外切,圓O的半徑長OB=;
②當(dāng)OE=FE時,圓O與圓A相交,作EH⊥OF于H,則OF=OH=﹣OB,證明△BEH∽△BAC,得出EH=,在Rt△OEH中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
③當(dāng)O與A重合時,OE=OF,OE=AB=5;即可得出結(jié)論.
(1)圓A與圓O外切,理由如下:
∵∠ACB=90°,tanB=,AB=5,∴AC=3,BC=4,
作OP⊥BE于P,如圖1所示:
則PB=PE,OP∥AC,
,
設(shè)PB=PE=x,則CG=CE=4﹣2x,
解得:x=,
∴OB═,
∴OA=AB﹣OB=5=2OB,
∴圓A與圓O外切;
(2)連接OM,如圖2所示:
∵圓O與圓A存在公共弦MN,
∴OA與MN垂直平分,
∴∠ODM=90°,DM=
由勾股定理得:DM2=OM2﹣OD2,即
整理得:y2=3x2+10x﹣25,
∴y=;
(3)分三種情況:
①當(dāng)圓O與圓A外切,OE=OF時,圓O與圓A外切,圓O的半徑長OB=;
②當(dāng)OE=FE時,圓O與圓A相交,如圖3所示:
作EH⊥OF于H,則OF=OH=﹣OB,
∵∠B=∠B,∠EHB=90°=∠C,
∴△BEH∽△BAC,
∴,
∴EH=,
在Rt△OEH中,由勾股定理得:=OE2=OB2,
解得:OB=;
③當(dāng)O與A重合時,OE=OF,F與B重合,OE=AB=5;
綜上所述,當(dāng)△OEF為以OE為腰的等腰三角形時,圓O的半徑長為或或5.
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【題目】如圖,△ABC中,BC=4,⊙P與△ABC的邊或邊的延長線相切.若⊙P半徑為2,△ABC的面積為5,則△ABC的周長為( )
A.8B.10C.13D.14
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點A(a,0)和B(b,0),交y軸于點C,拋物線的頂點為D,下列四個命題:
①當(dāng)x>0時,y>0;
②若a=﹣1,則b=4;
③拋物線上有兩點P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,則y1>y2;
④點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E,點G,F分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=2時,四邊形EDFG周長的最小值為6.
其中真命題的序號是( 。
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【題目】如圖,點D是△ABC的邊AB上一點,點E為AC的中點,過點C作CF∥AB交DE延長線于點F.
(1)求證:AD=CF.
(2)連接AF,CD,求證:四邊形ADCF為平行四邊形.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=5,BC=12,將矩形繞著點D順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點C落在對角線BD上的點E處時,點A、B分別落在點G、F處,那么AG:BF:CE=_____.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點,連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時.
①求證:△KGD∽△KEG;
②若cosC=,AK=,求BF的長.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O外一點,且∠CAB=90°,BD是⊙O的弦,BD∥CO.
(1)請說明:CD是⊙O的切線:
(2)若AB=4,BC=2.則陰影部分的面積為
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【題目】為了豐富校園文化生活,促進學(xué)生積極參加體育運動,某校準(zhǔn)備成立校排球隊,現(xiàn)計劃購進一批甲、乙兩種型號的排球,已知一個甲種型號排球的價格與一個乙種型號排球的價格之和為140元;如果購買6個甲種型號排球和5個乙種型號排球,一共需花費780元.
(1)求每個甲種型號排球和每個乙種型號排球的價格分別是多少元?
(2)學(xué)校計劃購買甲、乙兩種型號的排球共26個,其中甲種型號排球的個數(shù)多于乙種型號排球,并且學(xué)校購買甲、乙兩種型號排球的預(yù)算資金不超過1900元,求該學(xué)校共有幾種購買方案?
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【題目】如圖,線段AB繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段AC,點B對應(yīng)點C,在∠BAC的內(nèi)部有一點P,PA=8,PB=4,PC=4,則線段AB的長為_____.
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