Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DP．

（1）若將△DAP沿DP折疊，點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)A′處，試求AP的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E，將△DAP與△PBE分別沿DP與PE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A′，B′處，若P，A′，B′三點(diǎn)恰好在同一直線上，且A′B′＝2，試求此時(shí)AP的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G，將△DAP與△PBG分別沿DP與PG折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處，連結(jié)CF，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AP的長(zhǎng)為或；（2）PA的長(zhǎng)為1或3；（3）CF＝．

【解析】

（1）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP=PA′=x，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；②當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（2）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；

（3）如圖5中，作FH⊥CD由H．想辦法求出FH、CH即可解決問(wèn)題；

（1）①當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP＝PA′＝x，

在Rt△ADB中，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝5，

∵AB＝DA′＝3，∴BA′＝2，

在Rt△BPA′中，（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，

∴AP＝．

②當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí)，

由翻折性質(zhì)可知：PD⊥AC，則有△DAP∽△ABC，

∴＝，∴AP＝＝＝．

∴AP的長(zhǎng)為或；

（2）①如圖3中，設(shè)AP＝x，則PB＝4﹣x，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，

∵A′B′＝2，∴4﹣x﹣x＝2，∴x＝1，∴PA＝1；

②如圖4中，

設(shè)AP＝x，則PB＝4﹣x，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，

∵A′B′＝2，∴x﹣（4﹣x）＝2，

∴x＝3，∴PA＝3；

綜上所述，PA的長(zhǎng)為1或3；

（3）如圖5中，作FH⊥CD由H．

由翻折的性質(zhì)可知；AD＝DF＝3．BG＝BF，G、F、D共線，

設(shè)BG＝FG＝x，在Rt△GCD中，（x+3）2＝42+（3﹣x）2，

解得x＝，∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，

∵FH∥CG，∴＝＝，∴＝＝，

∴FH＝，DH＝，∴CH＝4﹣＝，

在Rt△CFH中，CF＝＝．