【題目】在解決數(shù)學(xué)問題時,我們常常從特殊入手,猜想結(jié)論,并嘗試發(fā)現(xiàn)解決問題的策略與方法.
(問題提出)
求證:如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,那么這個四邊形的對邊的平方和是一個定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.
請你在圖①中補(bǔ)全特殊殊位置時的圖形,并借助于所畫圖形探究問題的結(jié)論.
(問題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
【答案】【從特殊入手】見解析;【問題解決】見解析.
【解析】分析:(1)、當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時,然后根據(jù)直角三角形的勾股定理分別得出四條邊的平方,從而得出答案;(2)、作直徑DE,連接CE,根據(jù)弧與角的關(guān)系得出AB=CE,然后根據(jù)勾股定理得出答案.
詳解:【從特殊入手】
如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,
那么這個四邊形的對邊平方和是定圓半徑平方的4倍.
法1 如圖1,當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時.
則AB2=OA2+ OB2=R2+R2=2R2, CD2=OC2+ OD2=R2+R2=2R2,
BC2=OC2+ OB2=R2+R2=2R2, AD2=OA2+ OD2=R2+R2=2R2.
所以AB2+CD2=BC2+AD2=2R2+2R2=4R2.
【問題解決】
求證:AB2+CD2=BC2+AD2=4R2.
證明一:如圖2.作直徑DE,連接CE.
∵DE是直徑,∴∠DCE=90°. ∵所對的圓周角是∠E與∠DAH,
∴∠E=∠DAH. ∵∠DAC+∠ADB=90°,∠E+∠CDE=90°, ∴∠ADB=∠CDE.
∴=. ∴AB=CE. ∴AB2+CD2=CE2+CD2=DE2=4R2.
同理:BC2+AD2=4R2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在、上各取一點(diǎn)、,使,連接、相交于點(diǎn),再連接、,若,則圖中全等三角形共有( )
A. 5對 B. 6對 C. 7對 D. 8對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校食堂廚房的桌子上整齊地擺放著若干相同規(guī)格的碟子,碟子的個數(shù)與碟子的高度的關(guān)系如下表:
碟子的個數(shù) | 碟子的高度(單位:cm) |
1 | 2 |
2 | 2+1.5 |
3 | 2+3 |
4 | 2+4.5 |
… | … |
(1)當(dāng)桌子上放有x(個)碟子時,請寫出此時碟子的高度(用含x的式子表示);
(2)分別從三個方向上看,其三視圖如上圖所示,廚房師傅想把它們整齊疊成一摞,求疊成一摞后的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D.小莉說:當(dāng)AB+BD=AC+CD時,則△ABC是等腰三角形.她的說法正確嗎,如正確,請證明;如不正確,請舉反例說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的是用4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪而成的正方形圖案.已知該圖案的面積為49,小正方形的面積為4,若分別用x,y(x >y)表示小長方形的長和寬,則下列關(guān)系式中不正確的是( )
A. x+y=7 B. x-y=2 C. x2 +y2=25 D. 4xy+4=49
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其對稱軸l為x=﹣1.
(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若動點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上,動點(diǎn)N在對稱軸l上.
①當(dāng)PA⊥NA,且PA=NA時,求此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時,求四邊形PABC面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別以長方形OABC的邊OC,OA所在直線為x軸、y軸,建立平面直角坐 標(biāo)系.已知AO=13,AB=5,點(diǎn)E在線段OC上,以直線AE為軸,把△OAE翻折,點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c是等腰三角形ABC的三條邊,其中a=2,如果b,c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根,則m是_________.
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