【題目】如圖,已知∠xOy=90°,線段AB=10,若點A在Oy上滑動,點B隨著線段AB在射線Ox上滑動(A,B與O不重合),Rt△AOB的內切圓☉K分別與OA,OB,AB切于點E,F,P.
(1)在上述變化過程中,Rt△AOB的周長,☉K的半徑,△AOB外接圓半徑,這幾個量中不會發(fā)生變化的是什么?并簡要說明理由.
(2)當AE=4時,求☉K的半徑r.
(3)當Rt△AOB的面積為S,AE為x,試求S與x之間的函數關系,并求出S最大時直角邊OA的長.
【答案】(1)不會發(fā)生變化的是△AOB的外接圓半徑,理由見解析; (2)r=2;(3)S=-x2+10x,OA=5.
【解析】
(1)根據直角三角形的性質,斜邊上的中線等于斜邊的一半,AB的長不變,即△AOB的外接圓半徑不變;(2)設⊙K的半徑為r,連EK、KF,則四邊形EOFK是正方形,根據切線長定理,可求得r;
(3)設AO=b,OB=a,可得出r=,即2(b-x)+10=a+b,再由,則S=-x2+10x.再求得該函數的頂點坐標的橫坐標.
(1)不會發(fā)生變化的是△AOB的外接圓半徑.理由如下:
∵∠AOB=90°,
∴AB是△AOB的外接圓的直徑.
∵AB的長不變,
∴△AOB的外接圓半徑不變.
(2)設☉K的半徑為r,☉K與Rt△AOB相切于點E,F,P,連接EK,KF,
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,
∴四邊形EOFK是矩形.
又∵OE=OF,
∴四邊形EOFK是正方形,
∴OE=OF=r,
∵☉K是Rt△AOB的內切圓,切點分別為點E,F,P
,∴AE=AP=4,PB=BF=6,
(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合題意),r=2.
(3)設AO=b,OB=a,
∵☉K與Rt△AOB三邊相切于點E,F,P,
∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,
∴10-2x=a-b,
∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.
∵S=ab,
∴ab=2S,
∵a2+b2=102,
∴100-40x+4x2=100-4S,
∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.
∴當x=5時,S最大,即AE=BF=5,
∴OA==5.
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【題目】如圖,是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用,表示直角三角形的兩直角邊,下列四個說法:①;②;③;④;其中說法正確的是
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
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【題目】如圖,在線段AB上取一點C(非中點),分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交CD于點F,連接BD交CE于點G,AE和BD交于點H.
(1)求證:△ACE≌△DCB
(2)求∠BHE的度數
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【題目】如圖所示,破殘的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交弧AB于點C,交弦AB于點D.已知AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求殘片所在圓的面積.
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【題目】如圖,已知ED為☉O的直徑且ED=4,點A(不與點E,D重合)為☉O上一個動點,線段AB經過點E,且EA=EB,F為☉O上一點,∠FEB=90°,BF的延長線交AD的延長線于點C.
(1)求證:△EFB≌△ADE;
(2)當點A在☉O上移動時,直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少.
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【題目】正方形的邊長為1,點是邊上的一個動點(與,不重合),以為頂點在所在直線的上方作
(1)當經過點時,
①請直接填空:________(可能,不可能)過點:(圖1僅供分析)
②如圖2,在上截取,過點作垂直于直線,垂足為點,作于,求證:四邊形為正方形;
③如圖2,將②中的已知與結論互換,即在上取點(點在正方形外部),過點作垂直于直線,垂足為點,作于,若四邊形為正方形,那么與是否相等?請說明理由;
(2)當點在射線上且不過點時,設交邊于,且.在上存在點,過點作垂直于直線,垂足為點,使得,連接,則當為何值時,四邊形的面積最大?最大面積為多少?
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【題目】如圖,在直角坐標系中有,為坐標原點,,將此三角形繞原點順時針旋轉,得到,二次函數的圖象剛好經過三點.
(1)求二次函數的解析式及頂點的坐標;
(2)過定點的直線與二次函數圖象相交于兩點.
①若,求的值;
②證明:無論為何值,恒為直角三角形;
③當直線繞著定點旋轉時,外接圓圓心在一條拋物線上運動,直接寫出該拋物線的表達式.
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【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖,對稱軸是直線x=-,有下列結論:(1)ab>0;(2)a+b+c<0;(3)b+2c<0;(4)a-2b+4c>0.其中正確結論的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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