【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中有,為坐標(biāo)原點(diǎn),,將此三角形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,二次函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過(guò)三點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn).
①若,求的值;
②證明:無(wú)論為何值,恒為直角三角形;
③當(dāng)直線(xiàn)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),外接圓圓心在一條拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),直接寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的表達(dá)式.
【答案】(1),;(2)①;②見(jiàn)解析;③.
【解析】
(1)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,3)、(-1,0)、(3,0),即可求解;
(2)①S△PMN=PQ×(x2-x1),則x2-x1=4,即可求解;②k1k2==-1,即可求解;③取MN的中點(diǎn)H,則點(diǎn)H是△PMN外接圓圓心,即可求解.
(1),則,
即點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,
則二次函數(shù)表達(dá)式為:,
即:,解得:,
故函數(shù)表達(dá)式為:,
點(diǎn);
(2)將二次函數(shù)與直線(xiàn)的表達(dá)式聯(lián)立并整理得:
,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為、,
則,
則:,
同理:,
①,當(dāng)時(shí),,即點(diǎn),
,則,
,
解得:;
②點(diǎn)的坐標(biāo)為、、點(diǎn),
則直線(xiàn)表達(dá)式中的值為:,直線(xiàn)表達(dá)式中的值為:,
為: ,
故,
即:恒為直角三角形;
③取的中點(diǎn),則點(diǎn)是外接圓圓心,
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,
則,
,
整理得:,
即:該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)a∥b,依次有3個(gè)三角形放置在上面,它們分別是等邊三角形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形,直接填寫(xiě)出∠1、∠2、∠3 的度數(shù).
∠1= °;∠2= °;∠3= °.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖反映的過(guò)程是小明從家去食堂吃早餐,接著去圖書(shū)館讀報(bào),然后回家,其中x表示時(shí)間,y表示小明離家的距離,小明家、食堂、圖書(shū)館在同一直線(xiàn)上,根據(jù)圖中提供的信息,下列說(shuō)法正確的是( 。
A.食堂離小明家2.4km
B.小明在圖書(shū)館呆了20min
C.小明從圖書(shū)館回家的平均速度是0.04km/min
D.圖書(shū)館在小明家和食堂之間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠xOy=90°,線(xiàn)段AB=10,若點(diǎn)A在Oy上滑動(dòng),點(diǎn)B隨著線(xiàn)段AB在射線(xiàn)Ox上滑動(dòng)(A,B與O不重合),Rt△AOB的內(nèi)切圓☉K分別與OA,OB,AB切于點(diǎn)E,F(xiàn),P.
(1)在上述變化過(guò)程中,Rt△AOB的周長(zhǎng),☉K的半徑,△AOB外接圓半徑,這幾個(gè)量中不會(huì)發(fā)生變化的是什么?并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)AE=4時(shí),求☉K的半徑r.
(3)當(dāng)Rt△AOB的面積為S,AE為x,試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S最大時(shí)直角邊OA的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2﹣2ax(a>0)的頂點(diǎn)為C,與x軸交于點(diǎn)O、A,關(guān)于x的一次函數(shù)y=﹣ax(a>0).
(1)試說(shuō)明點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上;
(2)若兩個(gè)點(diǎn)(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函數(shù)的圖象上,是否存在整數(shù)k,滿(mǎn)足?如果存在,請(qǐng)求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是n,且﹣1≤n≤1,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn),與一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)F,當(dāng)0<a≤2時(shí),求線(xiàn)段EF的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,ABAC,過(guò)AB上一點(diǎn)D作DE∥AC交BC于點(diǎn)E,以E為頂點(diǎn),ED為一邊,作∠DEF∠A,另一邊EF交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;
(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形ADEF的形狀為 (直接寫(xiě)出結(jié)論);
(3)延長(zhǎng)圖1中的DE到點(diǎn)G,使EGDE,連接AE,AG,FG,得到圖2.若ADAG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,有一座拋物線(xiàn)形拱橋,橋下面在正常水位時(shí),AB寬20 m,水位上升到警戒線(xiàn)CD時(shí),CD到拱橋頂E的距離僅為1 m,這時(shí)水面寬度為10 m.
(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若洪水到來(lái)時(shí),水位以每小時(shí)0.3 m的速度上升,從正常水位開(kāi)始,持續(xù)多少小時(shí)到達(dá)警戒線(xiàn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司對(duì)一種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷(xiāo)情況進(jìn)行了營(yíng)銷(xiāo)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為x(噸)時(shí),所需的成本y(萬(wàn)元)與(x2+60x+800)成正比例,投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出且發(fā)現(xiàn)每噸的售價(jià)p(單位:萬(wàn)元)由基礎(chǔ)價(jià)與浮動(dòng)價(jià)兩部分組成,其中基礎(chǔ)價(jià)是固定不變的,浮動(dòng)價(jià)與x成正比例,比例系數(shù)為-.在營(yíng)銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為20噸時(shí),所需的成本是240萬(wàn)元,并且年銷(xiāo)售利潤(rùn)W(萬(wàn)元)的最大值為55萬(wàn)元.(注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售額-成本)
(1)求y(萬(wàn)元)與x(噸)之間滿(mǎn)足的函數(shù)解析式;
(2)求年銷(xiāo)售利潤(rùn)W與年產(chǎn)量x(噸)之間滿(mǎn)足的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大時(shí),每噸的售價(jià)是多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解方程:
(1)x2﹣4x﹣3=0
(2)(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0
(3)(x﹣1)2=4
(4)3x2+5(2x+3)=0.
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