【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”,這個四邊形叫“巧妙四邊形”,若一個四邊形有兩條巧分線,則稱為“絕妙四邊形”.
(1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是 ;(填序號點①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.
初步應(yīng)用
(2)在絕妙四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,若∠BAD=80°,則∠BCD= ;
深入研究
(3)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,∠B=72°.求證:梯形ABCD是絕妙四邊形.
(4)在巧妙四邊形ABCD中,AB=AD=CD,∠A=90°,AC是四邊形ABCD的巧分線,請直接寫出∠BCD的度數(shù).
【答案】(1)③④;(2)140°或80°或160°;(3)見解析;(4)∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°
【解析】
(1)由巧妙四邊形的定義,即可得到菱形和正方形是巧妙四邊形;
(2)根據(jù)絕妙四邊形的定義可知:兩條對角線都是巧分線,分情況畫圖進(jìn)行計算可得結(jié)論;
(3)首先根據(jù)題意畫出圖形,然后分別證明兩條對角線分成的三角形是等腰三角形即可;
(4)根據(jù)AC是四邊形ABCD的巧分線,可知:△ACD和△ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形時分三種情況畫圖進(jìn)行討論可得結(jié)論.
解:(1)∵菱形的四條邊相等,
∴連接對角線能得到兩個等腰三角形,
∴菱形是巧妙四邊形;
正方形是特殊的菱形,所以正方形也是巧妙四邊形;
故答案是:③④;
(2)分三種情況,
①當(dāng)AC=AD=AB時,如圖1,
∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,AC⊥BD,
∴∠BAC=∠DAC,
∵∠BAD=80°,
∴∠BAC=∠DAC=40°,
∵AC=AD=AB,
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB=∠ABC==70°,
∴∠BCD=2∠ACD=140°;
②當(dāng)AD=CD,AB=BC時,如圖2,
∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,AC⊥BD,
∴AB=AD=CD=BC,
∴四邊形ABCD是菱形,
∴∠BCD=∠BAD=80°;
③在四邊形ABCD中,AC=CD=BC,如圖3,
∴∠CAD=∠ADC=40°
∴∠ACD=∠ACB=100°
∴∠BCD=360°﹣100°﹣100°=160°;
綜上,∠BCD=140°或80°或160°;
故答案為:140°或80°或160°;
(3)如圖4,連接AC與BD,交于點O,
在梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABC=∠DCB=72°,
∵AD∥BC,
∴∠BAD=∠ADC=108°,
∵AB=AD=CD,
∴△ABD是等腰三角形,∠ABD=∠ADB=36°,
∴∠DBC=72°﹣36°=36°,∠BDC=108°﹣36°=72°=∠DCB,
∴△BDC也是等腰三角形,
∴對角線BD叫做這個四邊形ABCD的“巧分線”,
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形,
∴對角線AC叫做這個四邊形ABCD的“巧分線”,
∴梯形ABCD是絕妙四邊形;
(4)∵AC是四邊形ABCD的巧分線,
∴△ACD和△ABC是等腰三角形,
①當(dāng)AC=BC時,如圖5,過C作CH⊥AB于H,過C作CG⊥AD,交AD的延長線于G,
∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°,
∴四邊形AHCG是矩形,
∴AH=CG=AB=CD,
∴∠CDG=30°,
∴∠ADC=150°,
∴∠DAC=∠DCA=15°,
∵∠DAB=90°,
∴∠CAB=∠B=75°,
∴∠ACB=30°,
∴∠BCD=30°+15°=45°;
②當(dāng)AC=AB時,如圖6,
∵AC=AB=AD=CD,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠CAD=∠ACD=60°,
∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=30°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=75°,
∴∠BCD=75°+60°=135°;
③當(dāng)AB=BC時,如圖7,此時∠BCD=90°
綜上,∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將九年級部分男生擲實心球的成績進(jìn)行整理,分成5個小組(x表示成績,單位:米).A組:5.25≤x<6.25;B組:6.25≤x<7.25;C組:7.25≤x<8.25;D組:8.25≤x<9.25;E組:9.25≤x<10.25,并繪制出扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖(不完整).規(guī)定x≥6.25為合格,x≥9.25為優(yōu)秀.
(1)這部分男生有多少人?其中成績合格的有多少人?
(2)這部分男生成績的中位數(shù)落在哪一組?扇形統(tǒng)計圖中D組對應(yīng)的圓心角是多少度?
(3)要從成績優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)選出2人介紹經(jīng)驗,已知甲、乙兩位同學(xué)的成績均為優(yōu)秀,求他倆至少有1人被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形紙片ABCD,AD=4,AB=3,如果點E在邊BC上,將紙片沿AE折疊,使點B落在點F處,聯(lián)結(jié)FC,當(dāng)△EFC是直角三角形時,那么BE的長為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O是等邊△ABC的外心,BO的延長線和⊙O相交于點D,連接DC,DA,OA,OC.
(1)求證:△BOC≌△CDA;
(2)若AB=,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊教練為了了解隊員訓(xùn)練情況,從隊員中選取甲、乙兩名隊員進(jìn)行射擊測試,相同條件下各射靶5次,成績統(tǒng)計如下:
命中環(huán)數(shù) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 |
乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
(1)試通過計算說明甲、乙兩人的成績誰比較穩(wěn)定?
(3)如果乙再射擊1次,命中8環(huán),那么乙射擊成績的方差會 .(填“變大”、“變小”或“不變”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2( ),
且∠1=∠4( )
∴∠2=∠4(等量代換)
∴CE∥BF( )
∴∠ =∠3( )
又∵∠B=∠C(已知)
∴∠3=∠B( )
∴AB∥CD( ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探索與證明:
(1)如圖①,直線經(jīng)過正三角形的頂點,在直線上取點,,使得,.通過觀察或測量,猜想線段,與之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明;
(2)將(1)中的直線繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖②的位置,,.通過觀察或測量,猜想線段,與之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并予以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC為銳角,點D為直線BC上一動點,以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.①當(dāng)點D在線段BC上時,如圖1,線段CE、BD的位置關(guān)系為___________,數(shù)量關(guān)系為___________
②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立,請說明理由.
(2)如圖3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動。探究:當(dāng)∠ACB多少度時,CE⊥BC?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2),把一根長為2017個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在A處,并按A→B→C→D→A…的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上,則細(xì)線的另一端所在位置的點的坐標(biāo)是(。
A. (﹣1,﹣2) B. (―1,1)
C. (-1,-1) D. (1,―2)
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