Question

【題目】探索與證明：

（1）如圖①，直線經(jīng)過正三角形的頂點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，，使得，．通過觀察或測(cè)量，猜想線段，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明；

（2）將（1）中的直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖②的位置，，．通過觀察或測(cè)量，猜想線段，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

【答案】（1）DE=BD＋CE，證明見解析；（2）CE =BD＋DE，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根據(jù)已知條件可得，并且可證出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可證出△ABD≌△CAE，從而得出BD=AE，AD= CE，然后根據(jù)DE=AE＋AD和等量代換即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根據(jù)已知條件可得，并且可證出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可證出△ABD≌△CAE，從而得出BD=AE，AD= CE，然后根據(jù)AD= AE＋DE和等量代換即可得出結(jié)論；

解：（1）DE=BD＋CE，證明如下

∵△ABC為等邊三角形

∴AB=CA，∠BAC=60°

∵，

∴

∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=120°

∠CAE＋∠BAD=180°－∠BAC=120°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE

∴BD=AE，AD= CE

∴DE=AE＋AD= BD＋CE；

（2）CE =BD＋DE，證明如下

∵△ABC為等邊三角形

∴AB=CA，∠BAC=60°

∵，

∴

∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=60°

∠CAE＋∠BAD=∠BAC=60°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE

∴BD=AE，AD= CE

∵AD= AE＋DE

∴CE= BD＋DE．