【題目】如圖,⊙ORt△ABC的外接圓,∠C=90°,tanB=,過點B的直線l⊙O的切線,點D是直線l上一點,過點DDE⊥CBCB延長線于點E,連接AD,交⊙O于點F,連接BF、CD交于點G.

(1)求證:△ACB∽△BED;

(2)當AD⊥AC時,求 的值;

(3)若CD平分∠ACB,AC=2,連接CF,求線段CF的長.

【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3).

【解析】

(1)只要證明∠ACB=∠E,∠ABC=∠BDE即可;

(2)首先證明BE:DE:BC=1:2:4,由△GCB∽△GDF,可得=;

(3)想辦法證明AB垂直平分CF即可解決問題.

(1)證明:如圖1中,

∵DE⊥CB,

∴∠ACB=∠E=90°,

∵BD是切線,

∴AB⊥BD,

∴∠ABD=90°,

∴∠ABC+∠DBE=90°,∠BDE+∠DBE=90°,

∴∠ABC=∠BDE,

∴△ACB∽△BED;

(2)解:如圖2中,

∵△ACB∽△BED;四邊形ACED是矩形,

∴BE:DE:BC=1:2:4,

∵DF∥BC,

∴△GCB∽△GDF,

=;

(3)解:如圖3中,

∵tan∠ABC==,AC=2,

∴BC=4,BE=4,DE=8,AB=2,BD=4,

易證△DBE≌△DBF,可得BF=4=BC,

∴AC=AF=2,

∴CF⊥AB,設CFABH,

CF=2CH=2×.

練習冊系列答案
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