Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠C=90°，tanB=，過點B的直線l是⊙O的切線，點D是直線l上一點，過點D作DE⊥CB交CB延長線于點E，連接AD，交⊙O于點F，連接BF、CD交于點G．

（1）求證：△ACB∽△BED；

（2）當AD⊥AC時，求 的值；

（3）若CD平分∠ACB，AC=2，連接CF，求線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1）只要證明∠ACB=∠E，∠ABC=∠BDE即可；

（2）首先證明BE：DE：BC=1：2：4，由△GCB∽△GDF，可得=；

（3）想辦法證明AB垂直平分CF即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，

∵DE⊥CB，

∴∠ACB=∠E=90°，

∵BD是切線，

∴AB⊥BD，

∴∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，

∴∠ABC=∠BDE，

∴△ACB∽△BED；

（2）解：如圖2中，

∵△ACB∽△BED；四邊形ACED是矩形，

∴BE：DE：BC=1：2：4，

∵DF∥BC，

∴△GCB∽△GDF，

∴=；

（3）解：如圖3中，

∵tan∠ABC==，AC=2，

∴BC=4，BE=4，DE=8，AB=2，BD=4，

易證△DBE≌△DBF，可得BF=4=BC，

∴AC=AF=2，

∴CF⊥AB，設CF交AB于H,

則CF=2CH=2×.