Question

【題目】如圖，點A，B，C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x軸，∠ABC=135°，且AB=4．

（1）填空：拋物線的頂點坐標為 （用含m的代數(shù)式表示）；

（2）求△ABC的面積（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）若△ABC的面積為2，當2m﹣5≤x≤2m﹣2時，y的最大值為2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（m，2m﹣5）；（2）S△ABC =﹣；（3）m的值為或10+2．

【解析】（1）利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點式，此題得解；

（2）過點C作直線AB的垂線，交線段AB的延長線于點D，由AB∥x軸且AB＝4，可得出點B的坐標為（m＋2，4a＋2m5），設(shè)BD＝t，則點C的坐標為（m＋2＋t，4a＋2m5t），利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面積公式即可得出S△ABC的值；

（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合S△ABC＝2可求出a值，分三種情況考慮：①當m＞2m2，即m＜2時，x＝2m2時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②當2m5≤m≤2m2，即2≤m≤5時，x＝m時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③當m＜2m5，即m＞5時，x＝2m5時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可求出m的值．綜上即可得出結(jié)論．

（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，

∴拋物線的頂點坐標為（m，2m﹣5），

故答案為：（m，2m﹣5）；

（2）過點C作直線AB的垂線，交線段AB的延長線于點D，如圖所示，

∵AB∥x軸，且AB=4，

∴點B的坐標為（m+2，4a+2m﹣5），

∵∠ABC=135°，

∴設(shè)BD=t，則CD=t，

∴點C的坐標為（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），

∵點C在拋物線y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，

∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，

整理，得：at2+（4a+1）t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=﹣，

∴S△ABC=ABCD=﹣；

（3）∵△ABC的面積為2，

∴﹣=2，

解得：a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．

分三種情況考慮：

①當m＞2m﹣2，即m＜2時，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，

整理，得：m2﹣14m+39=0，

解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；

②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，有2m﹣5=2，解得：m=；

③當m＜2m﹣5，即m＞5時，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，

整理，得：m2﹣20m+60=0，

解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．

綜上所述：m的值為或10+2．