【題目】如圖,點A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點坐標為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當2m﹣5≤x≤2m﹣2時,y的最大值為2,求m的值.
【答案】(1)(m,2m﹣5);(2)S△ABC =﹣;(3)m的值為或10+2.
【解析】(1)利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點式,此題得解;
(2)過點C作直線AB的垂線,交線段AB的延長線于點D,由AB∥x軸且AB=4,可得出點B的坐標為(m+2,4a+2m5),設(shè)BD=t,則點C的坐標為(m+2+t,4a+2m5t),利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于t的一元二次方程,解之取其正值即可得出t值,再利用三角形的面積公式即可得出S△ABC的值;
(3)由(2)的結(jié)論結(jié)合S△ABC=2可求出a值,分三種情況考慮:①當m>2m2,即m<2時,x=2m2時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之可求出m的值;②當2m5≤m≤2m2,即2≤m≤5時,x=m時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可求出m的值;③當m<2m5,即m>5時,x=2m5時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可求出m的值.綜上即可得出結(jié)論.
(1)∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a(x﹣m)2+2m﹣5,
∴拋物線的頂點坐標為(m,2m﹣5),
故答案為:(m,2m﹣5);
(2)過點C作直線AB的垂線,交線段AB的延長線于點D,如圖所示,
∵AB∥x軸,且AB=4,
∴點B的坐標為(m+2,4a+2m﹣5),
∵∠ABC=135°,
∴設(shè)BD=t,則CD=t,
∴點C的坐標為(m+2+t,4a+2m﹣5﹣t),
∵點C在拋物線y=a(x﹣m)2+2m﹣5上,
∴4a+2m﹣5﹣t=a(2+t)2+2m﹣5,
整理,得:at2+(4a+1)t=0,
解得:t1=0(舍去),t2=﹣,
∴S△ABC=ABCD=﹣;
(3)∵△ABC的面積為2,
∴﹣=2,
解得:a=﹣,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣m)2+2m﹣5.
分三種情況考慮:
①當m>2m﹣2,即m<2時,有﹣(2m﹣2﹣m)2+2m﹣5=2,
整理,得:m2﹣14m+39=0,
解得:m1=7﹣(舍去),m2=7+(舍去);
②當2m﹣5≤m≤2m﹣2,即2≤m≤5時,有2m﹣5=2,解得:m=;
③當m<2m﹣5,即m>5時,有﹣(2m﹣5﹣m)2+2m﹣5=2,
整理,得:m2﹣20m+60=0,
解得:m3=10﹣2(舍去),m4=10+2.
綜上所述:m的值為或10+2.
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【題目】定義:若四邊形中某個頂點與其它三個頂點的距離相等,則這個四邊形叫做等距四邊形,這個頂點叫做這個四邊形的等距點.
(1)判斷:一個內(nèi)角為120°的菱形 等距四邊形.(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點,請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為互不全等的“等距四邊形”,畫出相應(yīng)的“等距四邊形”,并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長.端點均為非等距點的對角線長為 端點均為非等距點的對角線長為
(3)如圖1,已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形,∠AEB=∠DEC=90°,連結(jié)AD,AC,BC,若四邊形ABCD是以A為等距點的等距四邊形,求∠BCD的度數(shù).
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【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,
(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個問題:
①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C,∠A=40°,則∠ABX+∠ACX等于多少度;
②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);
③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度數(shù).
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【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD,等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)試說明AC=EF;
(2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形.
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【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠C=90°,tanB=,過點B的直線l是⊙O的切線,點D是直線l上一點,過點D作DE⊥CB交CB延長線于點E,連接AD,交⊙O于點F,連接BF、CD交于點G.
(1)求證:△ACB∽△BED;
(2)當AD⊥AC時,求 的值;
(3)若CD平分∠ACB,AC=2,連接CF,求線段CF的長.
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【題目】兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點P在的圖象上,PC⊥軸于點C,交的圖象于點A,PC⊥軸于點D,交的圖象于點B. 當點P在的圖象上運動時,以下結(jié)論:
①
②的值不會發(fā)生變化
③PA與PB始終相等
④當點A是PC的中點時,點B一定是PD的中點.
其中一定不正確的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【題目】如圖,的面積為12,,,的垂直平分線分別交,邊于點,,若點為邊的中點,點為線段上一動點,則周長的最小值為( )
A.6B.8C.10D.12
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【題目】如圖,將一等邊三角形的三條邊各8等分,按順時針方向(圖中箭頭方向)標注各等分點的序號0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號和為8的兩點依次連接起來,這樣就建立了“三角形”坐標系.在建立的“三角形”坐標系內(nèi),每一點的坐標用過這一點且平行(或重合)于原三角形三條邊的直線與三邊交點的序號來表示(水平方向開始,按順時針方向),如點的坐標可表示為(1,2,5),點的坐標可表示為(4,1,3),按此方法,則點的坐標可表示為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB交AB的延長線于點E,DF⊥AC于點F,現(xiàn)有下列結(jié)論:①DE=DF;②DE+DF=AD;③AM平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正確的有( )
A.個B.個C.個D.個
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