Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），BC與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交拋物線于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4，D（1，﹣3）；（2）E（5，）

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x4), 將C(0,4)代入求解即可；記拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為F．先求得拋物線的對(duì)稱軸，則可得到FB的長(zhǎng)，然后再證明△BFD為等腰直角三角形，從而可得到FD=FB=3，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H．先證∠EAH=∠ACO，則tan∠EAH=tan∠ACO=.設(shè)EH=t，則AH=2t，從而可得到E（-2+2t，t），最后，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x4),將C(0,4)代入得：8a=4,解得：

∴拋物線的解析式為

如下圖所示：記拋物線的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為F.

∵拋物線的對(duì)稱軸為

∴BF=OBOF=3.

∵BO=OC=4,

∴

∴△BFD為等腰直角三角形,

∴FD=FB=3.

∴D(1,3).

(2)如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H.

∵

∴∠EAH=∠ACO.

∴tan∠EAH=tan∠ACO=.

設(shè)EH=t，則AH=2t，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2+2t,t).

將(2+2t,t)代入拋物線的解析式得：

解得：或t=0(舍去)

∴