Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，直線與軸交于點，與軸交于點．點是拋物線上一動點，過點作直線軸于點，交直線于點．設點的橫坐標為．

求拋物線的解析式；

若點在軸上方的拋物線上，當時，求點的坐標；

若點’是點關于直線的對稱點，當點’落在軸上時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)的坐標為或;(3)m的值為或或或.

【解析】

（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到m的值．

解：∵拋物線與軸交于，兩點，

∴，
解得，
∴拋物線的解析式為．

∵點的橫坐標為，
∴，，．

∴，

．

由題意，，即：
①若，整理得：，

解得：或；
②若，整理得：，

解得：或．

由題意，的取值范圍為：，故、這兩個解均舍去．

∴或．

∴點的坐標為或．

假設存在．

作出示意圖如下：

∵點、關于直線對稱，

∴，，．

∵平行于軸，∴，

∴，∴，

∴，即四邊形是菱形．

當四邊形是菱形存在時，

由直線解析式，可得，，由勾股定理得．

過點作軸，交軸于點，易得，

∴，即，解得，

∴，又由可知：

∴．

①若，整理得：，解得或；

②若，整理得：，解得，．
由題意，的取值范圍為：，故這個解舍去．

當四邊形是菱形這一條件不存在時，
此時點橫坐標為，，，三點重合與軸上，也符合題意，

∴，

綜上所述，存在滿足條件的的值為或或或．