3．已知是空間二向量，若的夾角為 　　　　　　.

2．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足

　　 則△BCD是(　　 )

　　 A．鈍角三角形　　 B．直角三角形　 C．銳角三角形　 D．不確定

1．已知向量的夾角為(　　 )

　　 A．0°　 B．45° C．90°　 D．180°

[例1]下列所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，不正確的是(　)

錯解：B、C、D中任選一個

錯因：對于空間直角坐標(biāo)系的表示不清楚。有共同的原點，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就可以作為空間直角坐標(biāo)系．

正解：易知(C)不符合右手系的規(guī)定，應(yīng)選(C)．

　[例2]已知點A(－3，－1，1)，點B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz軸上分別取點L、M、N，使它們與A、B兩點等距離．

錯因：對于坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征不明；使用方程解題的思想意識不夠。

分析：設(shè)Ox軸上的點L的坐標(biāo)為(x，0，0)，由題意可得關(guān)于x的一元方程，從而解得x的值．類似可求得點M、N的坐標(biāo)．

解：設(shè)L、M、N的坐標(biāo)分別為(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．

　由題意，得

　(x+3)²+1+1＝(x+2)²+4+9，

　9+(y+1)²+1＝4+(y－2)²+9，

　9+1+(z－1)²＝4+4+(z－3)²．

分別解得，

故

評注：空間兩點的距離公式是平面內(nèi)兩點的距離公式的推廣：若點P、Q的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁，z₁)、(x₂，y₂，z₂)，則P、Q的距離為

必須熟練掌握這個公式．

[例3]設(shè)，，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值

錯解：取軸上的任一向量，設(shè)所求夾角為，

∵

∴，

即余弦值為

錯因：審題不清。沒有看清“軸正方向”，并不是軸

正解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，

∵

∴，即為所求

[例4]在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

=

∴∠ABC＝135°

[例5]已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，

⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵設(shè)＝(x,y,z)，則

解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).

[例6]已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，

求異面直線和的距離

解：以為原點，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

設(shè)，

∵在平面上，

∴，即，

∴，

∵，∴，

解得：，∴，∴．

另外,此題也可直接求與間的距離

設(shè)與的公垂線為，且，

設(shè)，設(shè)，

則，∴，∴，

同理，

∴，∴，

∴，

解得：，，．

4、本節(jié)內(nèi)容對于立體幾何的應(yīng)用，讀者需自行復(fù)習(xí)，這里不再贅述。

3、向量運算的主要應(yīng)用在于如下幾個方面：

(1)判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；

(2)求空間兩點間的距離；

(3)求兩條異面直線所成的角.

2、空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點在于掌握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉(zhuǎn)化的思想方法．如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關(guān)鍵．

1、對于這部分的一些知識點，讀者可以對照平面向量的知識，看哪些知識可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶；

6．兩點間的距離公式：若，，則

5．夾角公式：．