1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即

[例1] 和= (3,－4)平行的單位向量是_________；

錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，－)

錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。

正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(，－)或(－，)

點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個。

[例2]已知A(2，1)，B(3，2)，C(-1，4)，若A、B、C是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點D的坐標。

錯解：設(shè)D的坐標為(x，y)，則有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐標為(-2，3)。

錯因：思維定勢。習(xí)慣上，我們認為平行四邊形的四個頂點是按照ABCD的順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形ABCD。因此，還需要分類討論。

正解：設(shè)D的坐標為(x，y)

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐標為(-2，3)；

當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時，有x-2=3-(-1)，y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐標為(6，-1)；

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐標為(0，5)。

故第四個頂點D的坐標為(-2，3)或(6，-1)或(0，5)。

[例3]已知P₁(3,2)，P₂(8，3)，若點P在直線P₁P₂上，且滿足|P₁P|=2|PP₂|，求點P的坐標。

錯解：由|P₁P|=2|PP₂|得，點P 分P₁P₂所成的比為2，代入定比分點坐標公式得P()

錯因：對于|P₁P|=2|PP₂|這個等式，它所包含的不僅是點P為 P₁，P₂ 的內(nèi)分點這一種情況，還有點P是 P₁，P₂的外分點。故須分情況討論。

正解：當(dāng)點P為 P₁，P₂ 的內(nèi)分點時，P 分P₁P₂所成的比為2，此時解得P()；

　　　 當(dāng)點P為 P₁，P₂ 的外分點時，P 分P₁P₂所成的比為-2，此時解得P(13，4)。

　　　 則所求點P的坐標為()或(13，4)。

點評：在運用定比分點坐標公式時，要審清題意，注意內(nèi)外分點的情況。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。

[例4] 設(shè)向量 ，，，則“”是“”的

　 A.充分不必要條件　　　　　　　　 B.必要不充分條件

　 C.充要條件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要條件

分析：根據(jù)向量的坐標運算和充要條件的意義進行演算即可．

解：若，∵，則，代入坐標得：，即且 _．消去，得；

反之，若，則且，即

　 則，∴

　 故“”是“ ”的充要條件．

答案：C

點評：本題意在鞏固向量平行的坐標表示．

[例5]．已知=(1，-1)，=(-1，3)，=(3，5)，求實數(shù)x、y，使=x +y ．

分析：根據(jù)向量坐標運算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可．

解：由題意有

　　 x +y =x(1，-1)+y(-1，3)=(x-y，-x+3y)．

　　 又 =(3，5)

　　 ∴x-y=3且-x+3y=5

　　 解之得 x=7 且y=4

點評：在向量的坐標運算中經(jīng)常要用到解方程的方法．

[例6]已知A(-1，2)，B(2，8)，= ，= -，求點C、D和向量的坐標．

分析：待定系數(shù)法設(shè)定點C、D的坐標，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進行坐標運算，用方程思想解之．

　解：設(shè)C、D的坐標為、，由題意得

　=()，=(3，6)，　=()，=(-3，-6)

　 又= ，= -

　 ∴()=(3，6)， ()=-(-3，-6)

　 即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)

　 ∴且，且

　 ∴ 且 ，且

　 ∴點C、D和向量 的坐標分別為(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)

小結(jié)：本題涉及到方程思想，對學(xué)生運算能力要求較高．

§8.2平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用

5．平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故在使用的過程中須將起始點的坐標給出，同時注意順序。

4．定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫坐標和縱坐標是分開計算的；

3．對于坐標形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區(qū)分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；

2．在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；

1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”

向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正數(shù)或0，是可以進行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的．兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；

12.平移公式：

設(shè)P(x，y)是圖形F上的任意一點，它在平移后圖形F^/上對應(yīng)點為P^/(x^/，y^/)，且設(shè)的坐標為(h，k)，則由＝+，得：(x^/，y^/)＝(x，y)+(h，k)

11.平面向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為θ，則數(shù)量||||cosθ叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·，即·＝||||cosθ

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0。

(2)幾何意義：數(shù)量積·等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積。

(3)性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，θ是與的夾角，則·＝·＝||cosθ　，⊥·＝0

　 當(dāng)與同向時，·＝||||

　當(dāng)與反向時，·＝－||||

　 特別地，·＝||²或||＝

　　 cosθ＝　　 |·|≤||||

(4)運算律：

　 ·＝· (交換律)

　 　(λ)·＝λ(·)＝·(λ)

　 　(+)·＝·+·

(5)平面向量垂直的坐標表示的充要條件：

設(shè)=(x₁ ,y₁), = (x₂,y₂)，則

·=||·||cos90°=0

x₁x₂+y₁y₂=0

10.定比分點

設(shè)P₁，P₂是直線l上的兩點，點P是不同于P₁，P₂的任意一點則存在一個實數(shù)λ,使=λ，λ叫做分有向線段所成的比。若點P₁、P、P₂的坐標分別為(x₁，y₁)，(x,y)，(x₂,y₂)，則有

特別當(dāng)λ=1，即當(dāng)點P是線段P₁P₂的中點時，有