2．．

若滿足條件的存在，則

∵函數(shù)在內是減函數(shù)，∴當時，，

即對于恒成立．

∴

∴，解得．

又函數(shù)在(－1，0)上是增函數(shù)，∴當時，

即對于恒成立，

∴

∴，解得．

故當時，在上是減函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在．

說明：函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系．因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決．不善于應用恒成立和恒成立，究其原因是對函數(shù)的思想方法理解不深．

利用導數(shù)比較大小

例　 已知a、b為實數(shù)，且，其中e為自然對數(shù)的底，求證：．

分析：通過考察函數(shù)的單調性證明不等式也是常用的一種方法．根據(jù)題目自身的特點，適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)關系，在建立函數(shù)關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價轉化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當時，有，即．

解：證法一：

，∴要證，只要證，

設，則．

，∴，且，∴

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴，即，

∴

證法二：要證，只要證，

即證，設，則，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

又，即

說明：“構造”是一種重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合．解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構造函數(shù)或求導之后得出的錯誤結論．

判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性

例　 函數(shù)在區(qū)間上是(　 )

　　 A．增函數(shù)，且　 B．減函數(shù)，且

　　 C．增函數(shù)，且　 D．減函數(shù)，且

分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數(shù)值y的大小；二是要判斷此函數(shù)的單調性．

解：解法一：令，且，

則，排除A、B．

由復合函數(shù)的性質可知，u在 上為減函數(shù)．

又亦為減函數(shù)，故在 　上為增函數(shù)，排除D，選C．

解法二：利用導數(shù)法

()，故y在上是增函數(shù)．

由解法一知．所以選C．

說明：求函數(shù)的值域，是中學教學中的難關．一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以用函數(shù)的單調性求出最大、最小值等(包括初等方法和導數(shù)法)．對于復合函數(shù)的單調性問題，簡單的復合函數(shù)是可以利用復合函數(shù)的性質進行判斷，但是利用導數(shù)法判斷一些較復雜的復合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢的．

2．設，試問：是否存在實數(shù)，使在內為減函數(shù)，且在(－1，0)內是增函數(shù)．

分析：根據(jù)題設條件可以求出的表達式，對于探索性問題，一般先對結論做肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷．解題的過程實質是一種轉化的過程，由于函數(shù)是可導函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調性構造等價的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解．

解：1．由題意得，

，

∴

∴

1．設，求的解析式；

3．函數(shù)定義域為

令，得或．

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；

令，得且，

∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間是和．

說明：依據(jù)導數(shù)在某一區(qū)間內的符號來確定函數(shù)的單調區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運動性．解決這類問題，如果利用函數(shù)單調性定義來確定函數(shù)的單調區(qū)間，運算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準．學生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯誤結果．這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉化的思想方法的應用．

求解析式并根據(jù)單調性確定參數(shù)

例　 已知，且

2．函數(shù)定義域為

令，得．

∴函數(shù)的遞增區(qū)間為(0，1)；

令，得，

∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(1，2)．

3．

分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數(shù)的單調區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤．

解：1．函數(shù)的定義域為R，

令，得或．

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(－1，0)和；

令，得或，

∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和(0，1)．

2．；

1．；

3．函數(shù)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)在(0，1)上的單調性

當時，

若，則，函數(shù)在(0，1)上是減函數(shù)；

若，則，函數(shù)在(0，1)上是增函數(shù)．

又函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性．所以當時，函數(shù)在(－1，1)上是減函數(shù)，當時，函數(shù)在(－1，1)上是增函數(shù)．

說明：分類討論是重要的數(shù)學解題方法．它把數(shù)學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了．在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調性時，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結合函數(shù)的定義域來確定的符號，否則會產(chǎn)生錯誤判斷．

　　 分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力．

利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間

例　 求下列函數(shù)的單調區(qū)間：

2．函數(shù)的定義域是或

①若，則當時，，

∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)；

當時，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)

②若，則當時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)；

當時，，∴函數(shù)在上是增函數(shù)