23.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)

為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)，飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。

(17) 解：

方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A

　點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，

N的俯角；A，B的距離 d (如圖所示) .　　　　　　　 ……….3分

　　 ②第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理�。�

　　　 第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理　；

　　　 第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：

　　 A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d (如圖所示).

　　 ②第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理��；

　　第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理　； 　　　　

　 　　第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理

22.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)

如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449) 　　　　

(17)解:

在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，　 　　　　……5分

在△ABC中，

即AB=

因此，BD=

故B，D的距離約為0.33km。　　　　 　　　　　　　　　……12分

21.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)

如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC＝0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449) 　　　　　

(18)解：

　　 在中，＝30°，＝60°－＝30°，

　　 所以CD＝AC＝0.1

　　 又＝180°－60°－60°＝60°，

　　 故CB是底邊AD的中垂線，所以BD＝BA　　　 5分

　　 在中，， 　　　　　

　　 即AB＝

　　 因此，

　　 故B、D的距離約為0.33km。　　　　　　　 12分

18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，

解法一

(Ⅰ)依題意，有，，又，。

當(dāng) 是，

　又

(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

設(shè)∠PMN=，則0°<<60°

由正弦定理得

,

故

0°<<60°，當(dāng)=30°時(shí)，折線段賽道MNP最長

亦即，將∠PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段道MNP最長

解法二：

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得∠MNP=

即

故

從而，即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道MNP最長

注：本題第(Ⅱ)問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：①；②；③點(diǎn)N在線段MP的垂直平分線上等

20.(2009福建卷理)(本小題滿分13分)

如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動

賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)

y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為

S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽

運(yùn)動員的安全，限定MNP=120

(I)求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；

(II)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

19.(2009湖南卷文)(每小題滿分12分)

　 已知向量

(Ⅰ)若，求的值；　 　　　　　

(Ⅱ)若求的值�！　�

解：(Ⅰ) 因?yàn)?sub>，所以

于是，故

(Ⅱ)由知，

所以

從而，即，

于是.又由知，，

所以，或.

因此，或　　

18.(2009全國卷Ⅱ理)(本小題滿分10分)

設(shè)的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、，，，求。

分析：由，易想到先將代入得_。然后利用兩角和與差的余弦公式展開得；又由，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得，進(jìn)而得.故。大部分考生做到這里忽略了檢驗(yàn)，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由，進(jìn)而得，矛盾，應(yīng)舍去。

也可利用若則從而舍去。不過這種方法學(xué)生不易想到。

評析：本小題考生得分易，但得滿分難。

17.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

在中，為銳角，角所對的邊分別為，且

(I)求的值；

(II)若，求的值。

[解析](I)∵為銳角，

∴

∵

∴ 　　　　…………………………………………6分

(II)由(I)知，∴

　由得

，即

又∵　

∴　 　　∴　

∴　 　　　…………………………………………12分

16.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)

在中，

(Ⅰ)求AB的值。

(Ⅱ)求的值。

[答案]

　 [解析](1)解：在 中，根據(jù)正弦定理，，于是

(2)解：在 中，根據(jù)余弦定理，得

于是=，

從而

[考點(diǎn)定位]本題主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，二倍角的正弦和余弦，兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力。

15.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)

△中，所對的邊分別為，,.

(1)求；

(2)若,求. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　　

解：(1) 因?yàn)?sub>，即，

所以，

即 ，

得 .　　 所以,或(不成立).

即 , 得，所以.

又因?yàn)?sub>，則，或(舍去)

得

(2)，　

　又, 即 ，21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　　

得