28. 解：(1)∵D(－8，0)，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－8，代入中，得y＝－2.

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(－8，－2).而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A(8，2)

從而k＝8×2＝16

(2)∵N(0，－n)，B是CD的中點(diǎn)，A，B，M，E四點(diǎn)均在雙曲線上,

∴mn＝k，B(－2m，－)，C(－2m，－n)，E(－m，－n)

＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.

∴＝――＝k.∴k＝4.

由直線及雙曲線，得A(4，1)，B(－4，－1)

∴C(－4，－2)，M(2，2)

設(shè)直線CM的解析式是，由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，得

，解得a＝b＝

∴直線CM的解析式是y＝x+.

(3)如圖，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁，M₁

設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－a.于是，

同理

∴p－q＝－＝－2

27. 解：(1)由題意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，則CQ＝(4－2t)cm，

∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm

∴AP＝(5－t)cm，

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

∴AP∶AB＝AQ∶AC，即(5－t)∶5＝2t∶4，解得：t＝

∴當(dāng)t為秒時(shí)，PQ∥BC

………………2分

(2)過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，則易證△AQD∽△ABC

∴AQ∶QD＝AB∶BC

∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝

∴△APQ的面積：×AP×QD＝(5－t)×

∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝

………………5分

(3)由題意：

　　 當(dāng)面積被平分時(shí)有：＝××3×4，解得：t＝

　　 當(dāng)周長(zhǎng)被平分時(shí)：(5－t)+2t＝t+(4－2t)+3，解得：t＝1

∴不存在這樣t的值

………………8分

(4)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E

　 易證：△PAE∽△ABC，當(dāng)PE＝QC時(shí)，△PQC為等腰三角形，此時(shí)△QCP′為菱形

∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝

∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝

∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PQP′C為菱形

此時(shí)，PE＝，BE＝，∴CE＝

………………10分

在Rt△CPE中，根據(jù)勾股定理可知：PC＝＝＝

∴此菱形的邊長(zhǎng)為cm　　 ………………12分

26. 解：方案一：由題意可得：，

點(diǎn)到甲村的最短距離為．······································································· (1分)

點(diǎn)到乙村的最短距離為．

將供水站建在點(diǎn)處時(shí)，管道沿鐵路建設(shè)的長(zhǎng)度之和最�。�

即最小值為．········································································ (3分)

方案二：如圖①，作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接交于點(diǎn)，則．

，．·········································································· (4分)

在中，

，，

，兩點(diǎn)重合．即過(guò)點(diǎn)．············································· (6分)

在線段上任取一點(diǎn)，連接，則．

，

把供水站建在乙村的點(diǎn)處，管道沿線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小．

即最小值為．··········· (7分)

方案三：作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則．

作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

為點(diǎn)到的最短距離，即．

在中，，，

．．

，兩點(diǎn)重合，即過(guò)點(diǎn)．

在中，，．············································· (10分)

在線段上任取一點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連接．

顯然．

把供水站建在甲村的處，管道沿線路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最�。�

即最小值為．································································ (11分)

綜上，，供水站建在處，所需鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度最短．········ (12分)

25. 解：(1)取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，

為的中點(diǎn)，，．································· (1分)

又，．··········································································· (1分)

，得；······································ (2分)(1分)

(2)由已知得．··································································· (1分)

以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，

，即．·························· (2分)

解得，即線段的長(zhǎng)為；······································································· (1分)

(3)由已知，以為頂點(diǎn)的三角形與相似，

又易證得．··············································································· (1分)

由此可知，另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等有兩種情況：①；②．

①當(dāng)時(shí)，，．．

，易得．得；······················································· (2分)

②當(dāng)時(shí)，，．

．又，．

，即，得．

解得，(舍去)．即線段的長(zhǎng)為2．········································ (2分)

綜上所述，所求線段的長(zhǎng)為8或2．

24. 解：(1)∵點(diǎn)在上，

∴，

∴，

∴.

(2)連結(jié)， 由題意易知，

∴.

(3)正方形AEFG在繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，F點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓.

第一種情況：當(dāng)b>2a時(shí)，存在最大值及最小值；

因?yàn)?sub>的邊，故當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，取得最大、最小值.

如圖②所示時(shí)，

的最大值=

的最小值=

第二種情況：當(dāng)b=2a時(shí)，存在最大值，不存在最小值；

的最大值=.(如果答案為4a²或b²也可)

23. 解(Ⅰ)當(dāng)，時(shí)，拋物線為，

方程的兩個(gè)根為，．

∴該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和．　 ················································ 2分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有公共點(diǎn)．

對(duì)于方程，判別式≥0，有≤． ········································ 3分

①當(dāng)時(shí)，由方程，解得．

此時(shí)拋物線為與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．································· 4分

②當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，

時(shí)，．

由已知時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，

應(yīng)有　 即

解得．

綜上，或．　　 ················································································ 6分

(Ⅲ)對(duì)于二次函數(shù)，

由已知時(shí)，；時(shí)，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴．　 ············································································································ 　7分

∵關(guān)于的一元二次方程的判別式

，　 　

∴拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸下方．····························· 8分

又該拋物線的對(duì)稱軸，

由，，，

得，

∴．

又由已知時(shí)，；時(shí)，，觀察圖象，

可知在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)． ············································ 10分

22. 解：( 1)由已知得：解得

c=3,b=2

∴拋物線的線的解析式為

(2)由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)

所以對(duì)稱軸為x=1,A,E關(guān)于x=1對(duì)稱，所以E(3,0)

設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F

所以四邊形ABDE的面積=

=

=

=9

(3)相似

如圖，BD=

BE=

DE=

所以, 即： ,所以是直角三角形

所以,且,

所以.

21.解：

(1)m=-5,n=-3

　 (2)y=x+2

(3)是定值.

因?yàn)辄c(diǎn)D為∠ACB的平分線，所以可設(shè)點(diǎn)D到邊AC,BC的距離均為h，

設(shè)△ABC AB邊上的高為H,

則利用面積法可得：

(CM+CN)h=MN﹒H

又 H=

化簡(jiǎn)可得　 (CM+CN)﹒

故 　　　　

20. 解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D.

　　　 在Rt△ABD中，

　　　 ∵∣AB∣=,sin∠OAB=,

　　　 ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB

　　　　　　　 =×=3.

又由勾股定理，得

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵點(diǎn)B在第一象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3).　　　　　　　　　　　　 ……3分

設(shè)經(jīng)過(guò)O(0,0)、C(4，-3)、A(10,0)三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

　　 y=ax²+bx(a≠0).

由

∴經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為　　　　　　 ……2分

(2)假設(shè)在(1)中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形

　 ①∵點(diǎn)C(4，-3)不是拋物線的頂點(diǎn)，

∴過(guò)點(diǎn)C做直線OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P₁ 　.

則直線CP₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-3.

對(duì)于，令y=-3x=4或x=6.

∴

而點(diǎn)C(4，-3)，∴P₁(6,-3).

在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA,顯然∣CP₁∣≠∣OA∣.

∴點(diǎn)P₁(6，-3)是符合要求的點(diǎn).　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

②若AP₂∥CO.設(shè)直線CO的函數(shù)表達(dá)式為

　 將點(diǎn)C(4，-3)代入，得

∴直線CO的函數(shù)表達(dá)式為

　 于是可設(shè)直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為

將點(diǎn)A(10，0)代入，得

∴直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為

由，即(x-10)(x+6)=0.

∴

而點(diǎn)A(10，0)，∴P₂(-6，12).

過(guò)點(diǎn)P₂作P₂E⊥x軸于點(diǎn)E，則∣P₂E∣=12.

在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO,但∣AP₂∣≠∣CO∣.

∴點(diǎn)P₂(-6，12)是符合要求的點(diǎn).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

③若OP₃∥CA,設(shè)直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b₂

　 將點(diǎn)A(10,0)、C(4,-3)代入，得

∴直線CA的函數(shù)表達(dá)式為

∴直線OP₃的函數(shù)表達(dá)式為

由即x(x-14)=0.

∴

而點(diǎn)O(0,0),∴P₃(14，7).

過(guò)點(diǎn)P₃作P₃E⊥x軸于點(diǎn)E，則∣P₃E∣=7.

在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得

而∣CA∣=∣AB∣=.

∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA,但∣OP₃∣≠∣CA∣.

∴點(diǎn)P₃(14，7)是符合要求的點(diǎn).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

綜上可知，在(1)中的拋物線上存在點(diǎn)P₁(6,-3)、P₂(-6,12)、P₃(14,7),

使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形.　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

(3)由題知，拋物線的開(kāi)口可能向上，也可能向下.

�、佼�(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，則此拋物線與y軸的副半軸交與點(diǎn)N.

可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(a＞0).

即

如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G.

∵Q(-2k，0)、R(5k，0)、G(、N(0，-10ak²)、M

∴

∴　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

②當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，則此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)N，

　 同理，可得　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　……1分

綜上所知，的值為3：20.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

19. 解：(1)在中，令

，

，····················································· 1分

又點(diǎn)在上

的解析式為···················································································· 2分

(2)由，得　 ·························································· 4分

，

，····································································································· 5分

······························································································· 6分

(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

····································································································· 7分

················································································································ 8分

由直線可得：

在中，，，則

，····························································································· 9分

·························································································· 10分

··································································································· 11分

此拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，的面積達(dá)到最大，最大為．