2.注意區(qū)分項的系數與項的二項式系數.

1.正確理解二項式定理，準確地寫出二項式的展開式.

[例1]求展開所得的多項式中，系數為有理數的項數

解：

依題意：，為3和2的倍數，即為6的倍數，

又，，，構成首項為0，公差為6，末項為96的等差數列，由得，

故系數為有理數的項共有17項

◆提煉方法：有理項的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

[例2]設a_n=1+q+q²+…+q(n∈N^*，q≠±1)，A_n=Ca₁+Ca₂+…+Ca_n

(1)用q和n表示A_n；

(2)當－3<q<1時，求

解：(1)因為q≠1，所以a_n=1+q+q²+…+q=

于是A_n= C+ C+…+C

=［(C+C+…+C)－(Cq+Cq²+…+Cqⁿ)］

={(2ⁿ－1)－［(1+q)ⁿ－1］}

=［2ⁿ－(1+q)ⁿ］

(2)=［1－()ⁿ］

因為－3<q<1，且q≠－1，所以0<| |<1

所以=

[例3]在二項式(ax^m+bxⁿ)¹²(a＞0，b＞0，m、n≠0)中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數項恰是常數項.

(1)求它是第幾項；(2)求的范圍.

解：(1)設T=C(ax^m)^12－r·(bxⁿ)^r=Ca^12－rb^rx^m(12－r)+nr為常數項，則有m(12－r)+nr=0，即m(12－r)－2mr=0，∴r=4，它是第5項.

(2)∵第5項又是系數最大的項，

Ca⁸b⁴≥Ca⁷b⁵.　 　　　　　 ②

由①得a⁸b⁴≥a⁹b³，

∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.

由②得≥，∴≤≤.

[例4]己知

(1)

(2)

證明：(1)

同理

(2)由二項式定理有

因此

。

[研討.欣賞]求證：2<(1+)ⁿ<3(n≥2，n∈N^*).

證明：(1+)ⁿ=C+C× +C()²+…+C()ⁿ

=1+1+C×+C×+…+C×

=2+×+×+…+×

<2++++…+<2++++…+

=2+=3－()<3.

顯然(1+)ⁿ=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<(1+)ⁿ<3.

5. －160; 　6. ;　 　7. ;　 　8. 35; 　　9. ;　

10:設 f (x) ＝ (+x) ¹⁰ ，則(a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ²

＝[(a₀ + a₂ + … + a₁₀) +(a₁ + a₃ + … + a₉) ]·[(a₀ + a₂ + … + a₁₀)－(a₁ + a₃ + … + a₉) ]

＝f (1)· f (－1) ＝ (+1)¹⁰ (－1) ¹⁰＝1

4.

= ∴;

10. 設 (+x) ¹⁰ ＝ a₀ + a₁ x + a₂ x ² + … + a₁₀ x ¹⁰，則 (a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ² 的值為 　　　　　�。�

◆練習簡答: 1-4.ABDD; 2.x的奇數次方的系數都是負值，∴只需賦值x=－1;

9．(2005天津)設,則　　　　 .

8．(2005湖南)在(1+x)+(1+x)²+……+(1+x)⁶的展開式中，x ²項的系數是　　.(用數字作答)

7.在的二項展開式中,含的奇次冪的項之和為,當時, 等于______;

6.(2005湖北)的展開式中整理后的常數項為　　　 .