1．關于直線對稱問題：

(1)關于l ：Ax +By +C ＝0對稱問題：不論點，直線與曲線關于l 對稱問題總可以轉化為點關于l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P(x₀ ，y₀)關于l ：Ax +By +C ＝0對稱點Q(x₁ ，y₁)．有＝－(1)與A·+B·+C ＝0。

(2)解出x₁ 與y₁ ；若求C₁ ：曲線f(x ，y)＝0(包括直線)關于l ：Ax +By +C₁ ＝0對稱的曲線C₂ ，由上面的(1)、(2)中求出x₀ ＝g₁(x₁ ，y₁)與y₀ ＝g₂(x₁ ，y₁)，然后代入C₁ ：f [g₁(x₁ ，y₁)，g₂(x₂ ，y₂)]＝0，就得到關于l 對稱的曲線C₂ 方程：f [g₁(x ，y)，g₂(x ，y)]＝0。

(3)若l ：Ax +By +C ＝0中的x ，y 項系數(shù)|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C₁ ：y² ＝4 x －2關于l ：x －y －4＝0對稱的曲線l₂ 的方程為：(x －4) ² ＝4(y +4)－2．即y 用x －4代，x 用y +4代，這樣就比較簡單了。

(4)解有關入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。

點與圓位置關系：P(x₀ ，y₀)和圓C ：(x －a) ² +(y －b) ² ＝r²。

①點P 在圓C 外有(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＞r²；

②點P 在圓上：(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＝r²；

③點P 在圓內(nèi)：(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＜r² 。

題型1：直線間的位置關系

例1．(1)(2006北京11)若三點 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共線，則, 的值等于　　　　　　　 。

(2)(2006上海文11)已知兩條直線若，則___　　　 _。

解析：(1)答案：；(2)2。

點評：(1)三點共線問題借助斜率來解決，只需保證；(2)對直線平行關系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。

例2．(1)(2006福建文，1)已知兩條直線和互相垂直，則等于(　 )

A．2　　　　　 B．1　　　　 　　C．0　　　　　　 D．

(2)(2006安徽理，7)若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為(　　 )

A．　 B．　 C． 　　D．

解析：(1)答案為D；(2)與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A。

點評：直線間的垂直關系要充分利用好斜率互為負倒數(shù)的關系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。

題型2：距離問題

例3．(2002京皖春文，8)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是(　　 )

A．x－y=0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．x+y=0　

C．|x|－y=0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．|x|－|y|=0

解析：設到坐標軸距離相等的點為(x，y)

∴|x|＝|y|　 ∴|x|－|y|＝0。答案：D

點評：本題較好地考查了考生的數(shù)學素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑

例4．(2002全國文，21)已知點P到兩個定點M(－1，0)、N(1，0)距離的比為，點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。

解析：設點P的坐標為(x，y)，由題設有，

即。

整理得　 x²+y²－6x+1=0 　　　　　　 ①

因為點N到PM的距離為1，|MN|＝2，

所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±，

直線PM的方程為y=±(x+1)　　 ②

將②式代入①式整理得x²－4x+1＝0。

解得x＝2+，x＝2－。

代入②式得點P的坐標為(2+，1+)或(2－，－1+)；(2+，－1－)或(2－，1－)。

直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。

點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關知識，充分體現(xiàn)了“注重學科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。

題型3：直線與圓的位置關系

例5．(1)(2006安徽文，7)直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是(　　 )

A．　 B．　 C．　 D．

(2)(2006江蘇理，2)圓的切線方程中有一個是(　 )

A．x－y＝0　　　 B．x+y＝0　　 　C．x＝0　　　 D．y＝0

解析：(1)解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。

點評：該題考察了直線與圓位置關系的判定。

(2)直線ax+by=0，則，由排除法，

選C，本題也可數(shù)形結合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。

點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉化成判別式等于零來解。

例6．(2006江西理，16)已知圓M：(x+cosq)²+(y－sinq)²＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：

(A)　　 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；

(B)　　　 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；

(C)　　　 對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；

(D)對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。

其中真命題的代號是______________(寫出所有真命題的代號)

解析：圓心坐標為(－cosq，sinq)

d＝

故選(B)(D)

點評：該題復合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。

題型4：直線與圓綜合問題

例7．(1999全國，9)直線x+y－2=0截圓x²+y²＝4得的劣弧所對的圓心角為(　　 )

A．　　　 　　　　 　B．　　　 　　 　　C．　　 　　　　　　 　　D．

解析：如圖所示：

由

消y得：x²－3x+2=0，∴x₁=2，x₂=1。

∴A(2，0)，B(1，)

∴|AB|==2

又|OB|＝|OA|=2，

∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。

點評：本題考查直線與圓相交的基本知識，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結合思想，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰△OAB的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。

例8．(2006全國2，16)過點(1，)的直線l將圓(x－2)²+y²＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝　　　　　　 。

解析：過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率

解析(數(shù)形結合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線，所以。

點評：本題主要考察數(shù)形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關系，難度中等。

題型5：對稱問題

例9．(89年高考題)一束光線l自A(－3，3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x²+y²－4x－4y+7＝0上。

(Ⅰ) 求反射線通過圓心C時，光線l的方程；

(Ⅱ) 求在x軸上，反射點M的范圍．

解法一：已知圓的標準方程是

(x－2)²+(y－2)²=1，它關于x軸的對稱圓的方程是(x－2)²+(y+2)²=1。設光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由題設知對稱圓的圓心C′(2，-2)到這條直線的距離等于1，即d==1。整理得　 12k²+25k+12=0，解得k= －或k= －。故所求直線方程是y－3=－(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二：已知圓的標準方程是(x－2)²+(y－2)²=1，設交線L所在的直線的方程是

y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由題意知k≠0，于是L的反射點的坐標是(－，0)，因為光線的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d==1。以下同解法一。

點評：圓復合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標和圓的半徑。

例10．已知函數(shù)f(x)=x²－1(x≥1)的圖像為C₁，曲線C₂與C₁關于直線y=x對稱。

(1)求曲線C₂的方程y=g(x)；

(2)設函數(shù)y=g(x)的定義域為M，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，求證|g(x₁)－g(x₂)|<|x₁－x₂|;

(3)設A、B為曲線C₂上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。

解析：(1)曲線C₁和C₂關于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。

∵y=x²－1，x²=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C₂的方程為g(x)= (x≥0)。

(2)設x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，則x₁－x₂≠0。又x₁≥0， x₂≥0，

∴|g(x₁)－g(x₂)|=| 　－|=≤<|x₁－x₂|。

(3)設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)為曲線C₂上任意不同兩點，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，

由(2)知，|k_AB|=||=<1

∴直線AB的斜率|k_AB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。

點評：曲線對稱問題應從方程與曲線的對應關系入手來處理，最終轉化為點的坐標之間的對應關系。

題型6：軌跡問題

例11．(2005山東理，22)已知動圓過定點，且與直線相切，其中。

(I)求動圓圓心的軌跡的方程；

(II)設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標。

解析：(I)如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；

(II)如圖，設，由題意得(否則)且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達定理知①

(1)當時，即時，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點。

(2)當時，由，

得==，

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，

此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點。

所以由(1)(2)知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點。

點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。

例12．(2005江蘇，19)如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的切線(分別為切點)，使得. 試建立適當?shù)淖鴺讼担�并求動點的軌跡方程。

解析：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，。

由已知，得。

因為兩圓半徑均為1，所以。

設，則，

即(或)。

點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算能力。

題型7：課標創(chuàng)新題

例13．已知實數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。

解析：表示過點A(0，－1)和圓上的動點(x，y)的直線的斜率。

如下圖，當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。

設切線方程為，即，則，解得。

因此，

點評：直線知識是解析幾何的基礎知識，靈活運用直線知識解題具有構思巧妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運用。

例14．設雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點Q、R的坐標。

　　　 分析：正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。

　　　 根據(jù)兩曲線方程可求出交點Q、R坐標。

　　　 解析：設以P為圓心，為半徑的圓的方程為：，

　　　 由得：�！　� (其中，可令進行換元解之)

　　　 設Q、R兩點的坐標分別為，則。

　　　 即，

同理可得：，　 且因為△PQR是正三角形，則，

　　　 即，得。

　　　 代入方程，即。

　　　 由方程組，得：或，

　　　 所以，所求Q、R的坐標分別為

點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學分支中都有廣泛的應用。對一些數(shù)學問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設與結論之間的關系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。

4．兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O₁，O₂，半徑分別為r₁，r₂，。

；

；

；

；

；

外離　　　　　　　　　　　　　　　　 外切

　　　　　　　 相交　　　　　　　　　　　 內(nèi)切　　　　　　　　　　 內(nèi)含

判斷兩個圓的位置關系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。

3．直線與圓的位置關系有三種

(1)若，；

(2)；

(3)。

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個數(shù)來判斷：

(1)當方程組有2個公共解時(直線與圓有2個交點)，直線與圓相交；

(2)當方程組有且只有1個公共解時(直線與圓只有1個交點)，直線與圓相切；

(3)當方程組沒有公共解時(直線與圓沒有交點)，直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關系滿足以下關系：

相切d=rΔ＝0；

相交d<rΔ>0；

相離d>rΔ<0。

2．　 距離

(1)兩點間距離：若，則

特別地：軸，則、軸，則。

(2)平行線間距離：若，　　　　　　　　 則：。注意點：x，y對應項系數(shù)應相等。

(3)點到直線的距離：，則P到l的距離為：

1．直線l₁與直線l₂的的平行與垂直

(1)若l₁，l₂均存在斜率且不重合：

①l₁//l₂ k₁=k₂；②l₁l₂ k₁k₂=－1。

(2)若

　 若A₁、A₂、B₁、B₂都不為零。

①l₁//l₂；

②l₁l₂ A₁A₂+B₁B₂=0；

③l₁與l₂相交；

④l₁與l₂重合；

注意：若A₂或B₂中含有字母，應注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。

本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時在解析幾何中也會出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識。

預測2007年對本講的考察是：

(1)一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它知識聯(lián)合考察；

(2)熱點問題是直線的位置關系、借助數(shù)形結合的思想處理直線與圓的位置關系，注重此種思想方法的考察也會是一個命題的方向；

(3)本講的內(nèi)容考察了學生的理解能力、邏輯思維能力、運算能力。

5．在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

4．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；

3．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；