1．直線與方程

(1)在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；

(3)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關系；

2．空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作--作出表示距離的線段；二證--證明它就是所要求的距離；三算--計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．

求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：

①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.

②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關鍵是尋找兩“足”(斜足與垂足)，而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質定理.

③求二面角高考中每年必考，復習時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種：

根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理(或其逆定理)作，難點在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。作二面角的平面角應把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當扣分。

④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時�？紤]面面垂直的性質定理與幾何圖形的特殊性質.而間接法中常用的是等積法及轉移法.

⑤求角與距離的關鍵是將空間的角與距離靈活轉化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離

求距離的關鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸，各種具體方法如下：

(1)求空間中兩點間的距離，一般轉化為解直角三角形或斜三角形。

(2)求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉化為三棱錐的高，即用體積法。

空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關系，空間的角主要研究射影以及與射影有關的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決．

1．空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，)，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈(0，π)。

對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用．通過空間角的計算和應用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

(1)求異面直線所成的角，一般是平移轉化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構造一個含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。

(2)求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(斜足)，然后在直線上取一點(除斜足外)作平面的垂線，再連接垂足和斜足(即得直接在平面內(nèi)的射影)，最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。

(3)求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱后同上進行。間接法主要是投影法：即在一個平面α上的圖形面積為S，它在另一個平面β上的投影面積為S′，這兩個平面的夾角為θ，則S′=Scosθ。

如求異面直線所成的角常用平移法(轉化為相交直線)；求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角(記作q)通常有以下幾種方法：

(1) 根據(jù)定義；

(2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面g，設g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q(圖1)；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q(圖2)；

(4) 設A為平面a外任一點，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q(圖3)；

(5) 利用面積射影定理，設平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

　 　圖 1　　　　 　　　　　　　　圖 2　　　　　　　　　　　　 圖　 3

題型1：直線間的距離問題

例1．已知正方體的棱長為1，求直線DA'與AC的距離。

　 　解法1：如圖1連結A'C'，則AC∥面A'C'D'，

連結DA'、DC'、DO'，過O作OE⊥DO'于E

因為A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。

又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。

　　 因此OE為直線DA'與AC的距離。

在Rt△OO'D中，，可求得

點評：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。

　　 解法2：如圖2連接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分別包含DA'和AC的兩個平面A'C'D和平面AB'C，

　　 又因為A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。

　　 故DA'與AC的距離就是平面A'C'D和平面AB'C的距離，連BD'分別交兩平面于兩點，易證是兩平行平面距離。

　　 不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。

點評：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離。

題型2：線線夾角

例2．如圖1，在三棱錐S-ABC中，，，，，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

圖1

　　 解法1：用公式

　　 當直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解。

　　 由題意，知平面ABC，，由三垂線定理，知，所以平面SAC。

　　 因為，由勾股定理，得　　 。

　 　在中，，在中，。

　　 設SC與AB所成角為，則，

　 解法2：平移

過點C作CD//BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。

由勾股定理，得：。

圖2

在中，由余弦定理，得：。

點評：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解：(1)恰當選點，作兩條異面直線的平行線，構造平面角；(2)證明這個角(或其補角)就是異面直線所成角；(3)解三角形(常用余弦定理)，求出所構造角的度數(shù)。

題型3：點線距離

例3．(2002京皖春，15)正方形ABCD的邊長是2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示).M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為　　　 。

解析：過M作MO⊥EF，交EF于O，則MO⊥平面BCFE.

如圖所示，作ON⊥BC，設OM=x，

又tanMBO=，∴BO=2x

又S_△MBE=BE·MB·sinMBE=BE·ME

S_△MBC=BC·MB·sinMBC=BC·MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。

點評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。

題型4：點面距離

例4．(2006福建理，18)如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2。

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大�。�

(Ⅲ)求點E到平面的距離。

(1)證明：連結OC。

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。

∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。

而AC=2，∴AO²+CO²=AC^2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC。

∴AB平面BCD。

(Ⅱ)解：取AC的中點M,連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC。

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。

在△OME中，

是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

(Ⅲ)解：設點E到平面ACD的距離為h.

,

∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴點E到平面ACD的距離為。

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

題型5：線面距離

例5．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為4cm的正三角形，側棱AA₁與底面兩邊AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7。

(1)求證：AA₁⊥BC；

(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面積；

(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；

(4)求AA₁到側面BB₁C₁C的距離。

解析：設A₁在平面ABC上的射影為0。

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC，∴ O在∠BAC的平行線AM上。

∵ △ABC為正三角形，∴ AM⊥BC。

又AM為A₁A在平面ABC上的射影，∴ A₁A⊥BC

(2)

∵ B₁B∥A₁A，∴ B₁B⊥BC，即側面BB₁C₁C為矩形。

∴

又，∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB，∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=，∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

(4)把線A₁A到側面BB₁C₁C的距離轉化為點A或A₁到平面BB₁C₁C的距離

為了找到A₁在側面BB₁C₁C上的射影，首先要找到側面BB₁C₁C的垂面

設平面AA₁M交側面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥側面BCC₁B₁

在平行四邊形AA₁M₁M中

過A₁作A₁H⊥M₁M，H為垂足

則A₁H⊥側面BB₁C₁C

∴ 線段A₁H長度就是A₁A到側面BB₁C₁C的距離

∴

點評：線面距離往往轉化成點面距離來處理，最后可能轉化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。

題型6：線面夾角

例6．(2006浙江理，17)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點。

(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角的正弦值。

解析：(I)因為是的中點，，所以。

因為平面，所以，

從而平面.

因為平面，所以.

(II)取的中點，連結、，則，

所以與平面所成的角和與平面所成的角相等。

因為平面，所以是與平面所成的角。

在中，。

點評：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

題型7：面面距離

例7．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，如圖：

(1)求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；

(2)求(1)中兩個平行平面間的距離；

(3)求點B₁到平面A₁BC₁的距離。

(1)證明：由于BC₁∥AD₁，則BC₁∥平面ACD₁，

同理，A₁B∥平面ACD₁，則平面A₁BC₁∥平面ACD₁。

(2)解：設兩平行平面A₁BC₁與ACD₁間的距離為d，則d等于D₁到平面A₁BC₁的距離。易求A₁C₁=5，A₁B=2，BC₁=，則cosA₁BC₁=，則sinA₁BC₁=，則S=。

由于，則S·d=·BB₁，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。

(3)解：由于線段B₁D₁被平面A₁BC₁所平分，則B₁、D₁到平面A₁BC₁的距離相等，則由(2)知點B₁到平面A₁BC₁的距離等于。

點評：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。

題型8：面面角

例8．(2006四川理，19)如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，。

(Ⅰ)求證：面；

(Ⅱ)求二面角的大小。

(Ⅲ)求三棱錐的體積。

解析：(Ⅰ)證明：取的中點，連結

　 ∵分別為的中點，

∵，∴面，面

 ∴面面　 ∴面

(Ⅱ)設為的中點

∵為的中點　 ∴　 ∴面

作，交于，連結，則由三垂線定理得。

從而為二面角的平面角。

在中，，從而。

在中，，故二面角的正切值為。

(Ⅲ)，

作，交于，由面得，

∴面，

∴在中，，

∴。

點評：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運算中的推理過程，推理是運算的基礎，運算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進行簡單的運算，才能求出。因此，求角與距離的關鍵還是直線與平面的位置關系的論證。

3．等角定理

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等。

2．夾角

空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。

(1)兩條異面直線所成的角

求法：1先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；2通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉化成相應的銳角。

(2)直線和平面所成的角

求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉化法”。

(3)二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的

解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關鍵。通常的作法有：(Ⅰ)定義法；(Ⅱ)利用三垂線定理或逆定理；(Ⅲ)自空間一點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外，當作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cos  ＝，其中S 為斜面面積，S′為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。

1．距離

空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距，線線距，線面距，面面距。其中重點是點點距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應線段的長度，懂得幾種距離之間的轉化關系，所有這些都是十分重要的。

求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉化成另外一個點到這個平面的距離。

(1)兩條異面直線的距離

兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉化成求公垂線段的長度。

(2)點到平面的距離

平面外一點P 在該平面上的射影為P′，則線段PP′的長度就是點到平面的距離；求法：1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。2等體積法。

(3)直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；

(4)平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。

求距離的一般方法和步驟：應用各種距離之間的轉化關系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為 ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝(“±”符號由實際情況選定)

高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多一點思考,少一點計算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉體為載體的線面位置關系的論證，角與距離的探求是�？汲Ｐ碌臒衢T話題。

預測07年高考試題：

(1)單獨求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；

(2)選擇、填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應以正確的空間想象為前提。

3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；

2．掌握點、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；