2．一個(gè)小球從距地面4 m高處落下，被地面彈回，在距地面1 m高處被接住．坐標(biāo)原點(diǎn)定在拋出點(diǎn)正下方2 m處，向下方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向．則小球的拋出點(diǎn)、落地點(diǎn)、接住點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別是 (　)

A．2 m，－2 m，－1 m　　B．－2 m,2 m,1 m

C．4 m,0,1 m　 　　　　　　D．－4 m,0，－1 m

[解析]　根據(jù)題意建立如右圖所示的坐標(biāo)系，0拋出點(diǎn)，坐標(biāo)為－2 m，B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，D點(diǎn)為地面，坐標(biāo)為2 m，C點(diǎn)為接住點(diǎn)，坐標(biāo)為1 m，所以選項(xiàng)B正確．

[答案]　B

1．關(guān)于位移和路程，下列說法正確的是(　)

A．沿直線運(yùn)動(dòng)的物體，位移和路程是相等的

B．質(zhì)點(diǎn)沿不同的路徑由A到B，路程可能不同而位移一定相同

C．質(zhì)點(diǎn)通過一段路程，其位移可能為零

D．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移的大小可能大于路程

[解析]　由于位移是矢量，而路程是標(biāo)量，如果質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)且沒有往復(fù)時(shí)，位移與路程只是大小相等，若有往復(fù)，其大小也不相等，故A錯(cuò)；由于位移只與初、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，故B正確；若質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)一個(gè)過程之后又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，位移為零，在任何情況下質(zhì)點(diǎn)的位移都不可能大于路程，故C正確，D錯(cuò)．

[答案]　BC

2.位置變化的描述--位移

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15.

如右圖，圓O：x²+y²=16與x軸交于A、B兩點(diǎn)，l₁、l₂是分別過A、B點(diǎn)的⊙O的切線，過此圓上的另一點(diǎn)P(P點(diǎn)是圓上任一不與A、B重合的點(diǎn))作此圓的切線，分別交l₁、l₂于C、D點(diǎn)，且AD、BC兩直線的交點(diǎn)為M.

(1)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求切點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)判斷是否存在點(diǎn)Q(a,0)(a>0)使得Q點(diǎn)到軌跡上的點(diǎn)的最近距離為.若存在，求出所有這樣的點(diǎn)Q；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：(1)設(shè)P(x₀，y₀)，M(x，y)，則x+y＝16，切線CD為x₀x+y₀y＝16.

由A(－4,0)，B(4,0)，得C(－4，)，

D(4，)．

∴直線AD：y＝(x+4)，直線BC：y＝－(x－4)，聯(lián)立解得

代入x+y＝16，得x²+4y²＝16.

∵點(diǎn)P與A、B都不重合，∴y≠0.

故所求的軌跡方程是x²+4y²＝16(y≠0)．

(2)存在．

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q(a,0)，則d＝＝(－4<x<4)，

則當(dāng)－4<a<4，即0<a<3時(shí)，

d_min＝＝，解得a＝.

當(dāng)a≥3時(shí)，因?yàn)椋?<x<4，此時(shí)d不存在最小值．

綜上，存在這樣的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(，0)．

14．已知圓C：x²+y²－2x+4y－4＝0，問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

解：假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y＝x+m，圓C化為(x－1)²+(y+2)²＝9，圓心C(1，－2)，則AB中點(diǎn)N是兩直線x－y+m＝0與y+2＝－(x－1)的交點(diǎn)即N(－，)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，

∴|AN|＝|ON|，又CN⊥AB，|CN|＝，

∴|AN|＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|，解得m＝－4或m＝1.

∴存在直線l，其方程為y＝x－4或y＝x+1.

13．已知曲線C：x²+y²－4ax+2ay－20+20a＝0.

(1)證明：不論a取何實(shí)數(shù)，曲線C必過定點(diǎn)；

(2)當(dāng)a≠2時(shí)，證明曲線C是一個(gè)圓，且圓心在一條直線上；

(3)若曲線C與x軸相切，求a的值．

(1)證明：曲線C的方程可變形為

(x²+y²－20)+(－4x+2y+20)a＝0，

由，解得，

點(diǎn)(4，－2)滿足C的方程，故曲線C過定點(diǎn)(4，－2)．

(2)證明：原方程配方得(x－2a)²+(y+a)²＝5(a－2)²，

∵a≠2時(shí)，5(a－2)²>0，∴C的方程表示圓心是(2a，－a)，半徑是|a－2|的圓．

設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，則有，

消去a得y＝－x，故圓心必在直線y＝－x上．

(3)解：由題意得|a－2|＝|a|，解得a＝.

12．已知圓C：x²+y²+2x－4y+3＝0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對(duì)值相等，求此切線的方程．

解：∵切線在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，

∴切線的斜率是±1或過原點(diǎn)．

切線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y＝－x+b或y＝x+c，分別代入圓C的方程得2x²－2(b－3)x+(b²－4b+3)＝0或2x²+2(c－1)x+(c²－4c+3)＝0，

由于相切，則方程有等根，∴Δ₁＝0，

即[2(b－3)]²－4×2×(b²－4b+3)＝－b²+2b+3＝0，

∴b＝3或－1，

Δ₂＝0，

即[2(c－1)]²－4×2×(c²－4c+3)＝－c²+6c－5＝0.

∴c＝5或1，

當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線為y＝kx，即kx－y＝0.

由＝，得k＝2±.

∴y＝(2±)x，故所求切線方程為：

x+y－3＝0，x+y+1＝0，x－y+5＝0，x－y+1＝0，y＝(2±)x.

11．(2008·湖南文)將圓x²+y²＝1沿x軸正向平移1個(gè)單位后得到圓C，則圓C的方程是____________；若過點(diǎn)(3,0)的直線l和圓C相切，則直線l的斜率是________．

答案：(x－1)²+y²＝1　或－

解析：因?yàn)閳A平移后半徑不變，圓心變化，所以圓心(0,0)向右平移1個(gè)單位后得到點(diǎn)(1,0)，即平移后的圓心C.所以圓C的方程為(x－1)²+y²＝1.

設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.

則＝1，∴k＝±.

10．(2008·福建)若直線3x+4y+m＝0與圓(θ為參數(shù))沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

答案：(－∞，0)∪(10，+∞)

解析：把圓的參數(shù)方程化成普通方程為

(x－1)²+(y+2)²＝1，

由已知直線與圓相離，

∴>1，

解得m<0或m>10，故填(－∞，0)∪(10，+∞)．

9．(2009·朝陽4月)已知?jiǎng)又本�l平分圓C：(x－2)²+(y－1)²＝1，則直線l與圓O：(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是________．

答案：相交

解析：動(dòng)直線l平分圓C：(x－2)²+(y－1)²＝1，即圓心(2,1)在直線上，又圓O：即x²+y²＝9，且2²+1²<9，(2,1)在圓O內(nèi)，則直線l與圓O：(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是相交，故填相交．