例1. (2005年煙臺市檢測題)如圖1所示，將一根不可伸長、柔軟的輕繩左、右兩端分別系于A、B兩點(diǎn)上，一物體用動滑輪懸掛在輕繩上，達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端移到C點(diǎn)，待系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端再由C點(diǎn)移到D點(diǎn)，待系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為，不計(jì)摩擦，并且BC為豎直線，則(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　 D.

圖1

解析：由于跨過滑輪上繩上各點(diǎn)的張力相同，而它們的合力與重力為一對平衡力，所以從B點(diǎn)移到C點(diǎn)的過程中，通過滑輪的移動，，再從C點(diǎn)移到D點(diǎn)，肯定大于，由于豎直方向上必須有，所以。故只有A選項(xiàng)正確。

例2. 如圖3所示，某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個(gè)質(zhì)量為m的重物，開始時(shí)人在滑輪的正下方，繩下端A點(diǎn)離滑輪的距離為H。人由靜止拉著繩向右移動，當(dāng)繩下端到B點(diǎn)位置時(shí)，人的速度為v，繩與水平面夾角為θ。問在這個(gè)過程中，人對重物做了多少功？

圖3

解析：人移動時(shí)對繩的拉力不是恒力，重物不是做勻速運(yùn)動也不是做勻變速運(yùn)動，故無法用求對重物做的功，需從動能定理的角度來分析求解。

當(dāng)繩下端由A點(diǎn)移到B點(diǎn)時(shí)，重物上升的高度為：

重力做功的數(shù)值為：

當(dāng)繩在B點(diǎn)實(shí)際水平速度為v時(shí)，v可以分解為沿繩斜向下的分速度和繞定滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動的分速度，其中沿繩斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，從圖中可看出：

以重物為研究對象，根據(jù)動能定理得：

[實(shí)際應(yīng)用]

小船渡河

兩種情況：①船速大于水速；②船速小于水速。

兩種極值：①渡河最小位移；②渡河最短時(shí)間。

例3. 一條寬度為L的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：

(1)怎樣渡河時(shí)間最短？

(2)若，怎樣渡河位移最�。�

(3)若，怎樣渡河船漂下的距離最短？

解析：(1)小船過河問題，可以把小船的渡河運(yùn)動分解為它同時(shí)參與的兩個(gè)運(yùn)動，一是小船運(yùn)動，一是水流的運(yùn)動，船的實(shí)際運(yùn)動為合運(yùn)動。如圖4所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角θ。這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時(shí)間為，可以看出：L、v_船一定時(shí)，t隨sinθ增大而減�。划�(dāng)時(shí)，(最大)。所以，船頭與河岸垂直。

圖4

(2)如圖5所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，所以有，即。

圖5

因?yàn)?sub>，所以只有在時(shí)，船才有可能垂直河岸渡河。

(3)若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？

如圖6所示，設(shè)船頭v_船與河岸成θ角。合速度v與河岸成α角�？梢钥闯觯害两窃酱�，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以v_水的矢尖為圓心，v_船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時(shí)，α角最大，根據(jù)

圖6

船頭與河岸的夾角應(yīng)為，船沿河漂下的最短距離為：

此時(shí)渡河的最短位移：

誤區(qū)：不分條件，認(rèn)為船位移最小一定是垂直到達(dá)對岸；將渡河時(shí)間最短與渡河位移最小對應(yīng)。

[模型要點(diǎn)]

處理“速度關(guān)聯(lián)類問題”時(shí)，必須要明白“分運(yùn)動”與“合運(yùn)動”的關(guān)系：

(1)獨(dú)立性：一物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動時(shí)，各分運(yùn)動獨(dú)立進(jìn)行，各自產(chǎn)生效果()互不干擾。

(2)同時(shí)性：合運(yùn)動與分運(yùn)動同時(shí)開始、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)結(jié)束。

(3)等效性：合運(yùn)動是由各分運(yùn)動共同產(chǎn)生的總運(yùn)動效果，合運(yùn)動與各分運(yùn)動同時(shí)發(fā)生、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷相等的時(shí)間，合運(yùn)動與各分運(yùn)動總的運(yùn)動效果可以相互替代。

功是中學(xué)物理中的重要概念，它體現(xiàn)了力對物體的作用在空間上的累積過程，尤其是變力做功中更能體現(xiàn)出其空間積累的過程。所以在處理變力功可采用動能定律、功能原理、圖象法、平均法等。

[模型演練]

(2005祁東聯(lián)考)小河寬為d，河水中各點(diǎn)水流速度大小與各點(diǎn)到較近河岸邊的距離成正比，，x是各點(diǎn)到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是(　　 )

A. 小船渡河的軌跡為曲線

B. 小船到達(dá)離河岸處，船渡河的速度為

C. 小船渡河時(shí)的軌跡為直線

D. 小船到達(dá)離河岸處，船的渡河速度為

答案：A

例1. 如圖1所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉水平面上的物體A，當(dāng)繩與水平方向成θ角時(shí)，求物體A的速度。

圖1

解法一(分解法)：本題的關(guān)鍵是正確地確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動。物體A的運(yùn)動(即繩的末端的運(yùn)動)可看作兩個(gè)分運(yùn)動的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度θ的值。這樣就可以將按圖示方向進(jìn)行分解。所以及實(shí)際上就是的兩個(gè)分速度，如圖1所示，由此可得。

解法二(微元法)：要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間來求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率。

設(shè)船在θ角位置經(jīng)△t時(shí)間向左行駛△x距離，滑輪右側(cè)的繩長縮短△L，如圖2所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí)，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，兩邊同除以△t得：

即收繩速率，因此船的速率為：

圖2

總結(jié)：“微元法”�？稍O(shè)想物體發(fā)生一個(gè)微小位移，分析由此而引起的牽連物體運(yùn)動的位移是怎樣的，得出位移分解的圖示，再從中找到對應(yīng)的速度分解的圖示，進(jìn)而求出牽連物體間速度大小的關(guān)系。

解法三(能量轉(zhuǎn)化法)：由題意可知：人對繩子做功等于繩子對物體所做的功。人對繩子的拉力為F，則對繩子做功的功率為；繩子對物體的拉力，由定滑輪的特點(diǎn)可知，拉力大小也為F，則繩子對物體做功的功率為，因?yàn)?sub>所以。

評點(diǎn)：①在上述問題中，若不對物體A的運(yùn)動認(rèn)真分析，就很容易得出的錯誤結(jié)果；②當(dāng)物體A向左移動，θ將逐漸變大，逐漸變大，雖然人做勻速運(yùn)動，但物體A卻在做變速運(yùn)動。

總結(jié)：解題流程：①選取合適的連結(jié)點(diǎn)(該點(diǎn)必須能明顯地體現(xiàn)出參與了某個(gè)分運(yùn)動)；②確定該點(diǎn)合速度方向(物體的實(shí)際速度為合速度)且速度方向始終不變；③確定該點(diǎn)合速度的實(shí)際運(yùn)動效果從而依據(jù)平行四邊形定則確定分速度方向；④作出速度分解的示意圖，尋找速度關(guān)系。

例4. 如圖6所示，在水平地面上有一輛運(yùn)動的平板小車，車上固定一個(gè)盛水的杯子，杯子的直徑為R。當(dāng)小車作勻加速運(yùn)動時(shí)，水面呈如圖所示狀態(tài)，左右液面的高度差為h，則小車的加速度方向指向如何？加速度的大小為多少？

解析：我們由圖可以看出物體運(yùn)動情況，根據(jù)杯中水的形狀，可以構(gòu)建這樣的一個(gè)模型，一個(gè)物塊放在光滑的斜面上(傾角為)，重力和斜面的支持力的合力提供物塊沿水平方向上的加速度，其加速度為：。

我們?nèi)”�中水面上的一滴水為研究對象，水滴受力情況如同斜面上的物塊。由題意可得，取杯中水面上的一滴水為研究對象，它相對靜止在“斜面”上，可以得出其加速度為，而，得，方向水平向右。

點(diǎn)評：在本題中可以突出物體的受力特征，建立等效模型，用簡捷的等效物理模型代替那些真實(shí)的、復(fù)雜的物理情景，從而使復(fù)雜問題的求解過程得到直觀、優(yōu)化，諸如此類的還有等時(shí)圓等等。

［模型要點(diǎn)］

斜面固定時(shí)，對斜面上的物體受力分析，建立坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解，選擇利用三大定律列方程求解；對斜面不固定時(shí)，我們將斜面與斜面上的物體看成系統(tǒng)，仔細(xì)觀察題中條件，采用整體法或動量定理甚至動量守恒定律處理。

［誤區(qū)點(diǎn)撥］

(1)要注意斜面上物體受到摩擦力的種類、方向判斷，如斜面傾角與的比較等；(2)在采用整體法處理斜面體與它上面的物體時(shí)要區(qū)分變速運(yùn)動部分(合外力)與整體的質(zhì)量；(3)在計(jì)算正壓力時(shí)遺漏除重力以外的其他力產(chǎn)生的作用而導(dǎo)致摩擦力大小計(jì)算錯誤；(4)在分析電磁力時(shí)電荷或?qū)�體棒的極值問題而引起的彈力或摩擦力的變化；

［模型演練］

(2005年西南聯(lián)考)如圖7所示，質(zhì)量為M的木板放在傾角為的光滑斜面上，質(zhì)量為m的人在木板上跑，假如腳與板接觸處不打滑。

(1)要保持木板相對斜面靜止，人應(yīng)以多大的加速度朝什么方向跑動？

(2)要保持人相對于斜面的位置不變，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向運(yùn)動？

答案：(1)要保持木板相對斜面靜止，木板要受到沿斜面向上的摩擦力與木板的下滑力平衡，即，根據(jù)作用力與反作用力人受到木板對他沿斜面向下的摩擦力，所以人受到的合力為：

方向沿斜面向下。

(2)要保持人相對于斜面的位置不變，對人有，F(xiàn)為人受到的摩擦力且沿斜面向上，根據(jù)作用力與反作用力等值反向的特點(diǎn)判斷木板受到沿斜面向下的摩擦力，大小為

所以木板受到的合力為：

方向沿斜面向下。

例3. 帶負(fù)電的小物體在傾角為的絕緣斜面上，整個(gè)斜面處于范圍足夠大、方向水平向右的勻強(qiáng)電場中，如圖5所示。物體A的質(zhì)量為m，電量為-q，與斜面間的動摩擦因素為，它在電場中受到的電場力的大小等于重力的一半。物體A在斜面上由靜止開始下滑，經(jīng)時(shí)間t后突然在斜面區(qū)域加上范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁場方向與電場強(qiáng)度方向垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，此后物體A沿斜面繼續(xù)下滑距離L后離開斜面。

(1)物體A在斜面上的運(yùn)動情況？說明理由。

(2)物體A在斜面上運(yùn)動過程中有多少能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能？(結(jié)果用字母表示)

解析：(1)物體A在斜面上受重力、電場力、支持力和滑動摩擦力的作用，<1>小物體A在恒力作用下，先在斜面上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動；<2>加上勻強(qiáng)磁場后，還受方向垂直斜面向上的洛倫茲力作用，方可使A離開斜面，故磁感應(yīng)強(qiáng)度方向應(yīng)垂直紙面向里。隨著速度的增加，洛倫茲力增大，斜面的支持力減小，滑動摩擦力減小，物體繼續(xù)做加速度增大的加速運(yùn)動，直到斜面的支持力變?yōu)榱�，此后小物體A將離開地面。

(2)加磁場之前，物體A做勻加速運(yùn)動，據(jù)牛頓運(yùn)動定律有：

解出

A沿斜面運(yùn)動的距離為：

加上磁場后，受到洛倫茲力

隨速度增大，支持力減小，直到時(shí)，物體A將離開斜面，有：

物體A在斜面上運(yùn)動的全過程中，重力和電場力做正功，滑動摩擦力做負(fù)功，洛倫茲力不做功，根據(jù)動能定理有：

物體A克服摩擦力做功，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能：

例2. 物體置于光滑的斜面上，當(dāng)斜面固定時(shí)，物體沿斜面下滑的加速度為，斜面對物體的彈力為。斜面不固定，且地面也光滑時(shí)，物體下滑的加速度為，斜面對物體的彈力為，則下列關(guān)系正確的是：

A. 　　B.

C. 　　D.

解析：當(dāng)斜面可動時(shí)，對物體來說是相對斜面這個(gè)加速參考系在作加速運(yùn)動，而且物體和參考系的運(yùn)動方向不在同一條直線上，利用常規(guī)的方法難于判斷，但是利用矢量三角形法則能輕松獲解。

如圖4所示，由于重力的大小和方向是確定不變的，斜面彈力的方向也是惟一的，由共點(diǎn)力合成的三角形法則，斜面固定時(shí)，加速度方向沿斜面向下，作出的矢量圖如實(shí)線所示，當(dāng)斜面也運(yùn)動時(shí)，物體并不沿平行于斜面方向運(yùn)動，相對于地面的實(shí)際運(yùn)動方向如虛線所示。所以正確選項(xiàng)為B。

評點(diǎn)：在運(yùn)動學(xué)中巧取參考系；在動力學(xué)中運(yùn)用整體法與隔離法；在研究重力勢能時(shí)選取參考平面；在電學(xué)中善用等勢面等往往能起到柳暗花明的效果。

例1. 相距為20cm的平行金屬導(dǎo)軌傾斜放置(見圖1)，導(dǎo)軌所在平面與水平面的夾角為，現(xiàn)在導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為330g的金屬棒ab，它與導(dǎo)軌間動摩擦系數(shù)為，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)軌所接電源電動勢為15V，內(nèi)阻不計(jì)，滑動變阻器的阻值可按要求進(jìn)行調(diào)節(jié)，其他部分電阻不計(jì)，取，為保持金屬棒ab處于靜止?fàn)顟B(tài)，求：

(1)ab中通入的最大電流強(qiáng)度為多少？

(2)ab中通入的最小電流強(qiáng)度為多少？

解析：導(dǎo)體棒ab在重力、靜摩擦力、彈力、安培力四力作用下平衡，由圖2中所示電流方向，可知導(dǎo)體棒所受安培力水平向右。當(dāng)導(dǎo)體棒所受安培力較大時(shí)，導(dǎo)體棒所受靜摩擦力沿導(dǎo)軌向下，當(dāng)導(dǎo)體棒所受安培力較小時(shí)，導(dǎo)體棒所受靜摩擦力沿導(dǎo)軌向上。

(1)ab中通入最大電流強(qiáng)度時(shí)受力分析如圖2，此時(shí)最大靜摩擦力沿斜面向下，建立直角坐標(biāo)系，由ab平衡可知，x方向：

y方向：

由以上各式聯(lián)立解得：

(2)通入最小電流時(shí)，ab受力分析如圖3所示，此時(shí)靜摩擦力，方向沿斜面向上，建立直角坐標(biāo)系，由平衡有：

x方向：

y方向：

聯(lián)立兩式解得：

由

評點(diǎn)：此例題考查的知識點(diǎn)有：(1)受力分析--平衡條件的確定；(2)臨界條件分析的能力；(3)直流電路知識的應(yīng)用；(4)正交分解法。

說明：正交分解法是在平行四邊形定則的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其目的是用代數(shù)運(yùn)算來解決矢量運(yùn)算。正交分解法在求解不在一條直線上的多個(gè)力的合力時(shí)顯示出了較大的優(yōu)越性。建立坐標(biāo)系時(shí)，一般選共點(diǎn)力作用線的交點(diǎn)為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)，并盡可能使較多的力落在坐標(biāo)軸上，這樣可以減少需要分解的數(shù)目，簡化運(yùn)算過程。

2. 如圖6甲所示，一根輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端拴一個(gè)重為G的鋼球A，球處于靜止?fàn)顟B(tài)�，F(xiàn)對球施加一個(gè)方向向右的外力F，使球緩慢偏移，在移動中的每一刻，都可以認(rèn)為球處于平衡狀態(tài)，如果外力F方向始終水平，最大值為2G，試求：

(1)輕繩張力F_T的大小取值范圍；

(2)在乙圖中畫出輕繩張力與cosθ的關(guān)系圖象。

圖6

答案：(1)當(dāng)水平拉力F=0時(shí)，輕繩處于豎直位置時(shí)，繩子張力最小

當(dāng)水平拉力F=2G時(shí)，繩子張力最大：

因此輕繩的張力范圍是：

(2)設(shè)在某位置球處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得

所以即，得圖象如圖7。

圖7

例3：如圖4所示，AB、AC為不可伸長的輕繩，小球質(zhì)量為m=0.4kg。當(dāng)小車靜止時(shí)，AC水平，AB與豎直方向夾角為θ=37°，試求小車分別以下列加速度向右勻加速運(yùn)動時(shí)，兩繩上的張力F_AC、F_AB分別為多少。取g=10m/s²。(1)；(2)。

圖4

解析：設(shè)繩AC水平且拉力剛好為零時(shí)，臨界加速度為

根據(jù)牛頓第二定律

聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得

當(dāng)，此時(shí)AC繩伸直且有拉力。

根據(jù)牛頓第二定律；，聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得

當(dāng)，此時(shí)AC繩不能伸直，。

AB繩與豎直方向夾角，據(jù)牛頓第二定律，。聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得。

[模型要點(diǎn)]

①物體受到三個(gè)共點(diǎn)力的作用，且兩力垂直，物體處于平衡狀態(tài)(靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài))。

②條件是：物體所受到的合外力為零，即。

處理方法：(1)正交分解法：這是平衡條件的最基本的應(yīng)用方法。其實(shí)質(zhì)就是將各外力間的矢量關(guān)系轉(zhuǎn)化為沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向上的力分量間的關(guān)系，從而變復(fù)雜的幾何運(yùn)算為相對簡單的代數(shù)運(yùn)算。

即和

具體步驟：①確定研究對象；②分析受力情況；③建立適當(dāng)坐標(biāo)；④列出平衡方程。

若研究對象由多個(gè)物體組成，優(yōu)先考慮運(yùn)用整體法，這樣受力情況比較簡單，要求出系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，需要使用隔離法，因此整體法和隔離法常常交替使用。

常用方法：合成(分解)法；多邊形(三角形)法；相似形法。

動態(tài)平衡的常見問題：①動態(tài)分析；②臨界問題；③極值分析等。

動態(tài)平衡的判斷方法：①函數(shù)討論法；②圖解法(注意適用條件和不變力)；③極限法(注意變化的轉(zhuǎn)折性問題)。

[誤區(qū)點(diǎn)撥]

(1)受力分析：①重力是否有(微觀粒子；粒子做圓周運(yùn)動)；②彈力(彈簧彈力的多解性)；③摩擦力(靜摩擦力的判斷和多解性，和滑動摩擦力F_f并不總等于μmg)；④電磁力。

(2)正確作受力分析圖，要注意平面問題的思維慣性導(dǎo)致空間問題的漏解。

解題策略：①受力分析；②根據(jù)物體受到的合力為0應(yīng)用矢量運(yùn)算法(如正交分解、解三角形法等)求解。③對于較復(fù)雜的變速問題可利用牛頓運(yùn)動定律列方程求解。

[模型演練]

1. (2005年聯(lián)考題)兩個(gè)相同的小球A和B，質(zhì)量均為m，用長度相同的兩根細(xì)線把A、B兩球懸掛在水平天花板上的同一點(diǎn)O，并用長度相同的細(xì)線連接A、B兩小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此時(shí)三根細(xì)線均處于直線狀態(tài)，且OB細(xì)線恰好處于豎直方向，如圖5所示，如果不考慮小球的大小，兩球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，則力F的大小為(　　 )

A. 0　　　　　　　　 B. mg　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

圖5

答案：C

例2：物體A質(zhì)量為，用兩根輕繩B、C連接到豎直墻上，在物體A上加一恒力F，若圖2中力F、輕繩AB與水平線夾角均為，要使兩繩都能繃直，求恒力F的大小。

圖2

解析：要使兩繩都能繃直，必須，再利用正交分解法作數(shù)學(xué)討論。作出A的受力分析圖3，由正交分解法的平衡條件：

圖3

　　　　 ①

　　　　 ②

解得　　　　　　　　　　　　　 ③

　　　　　　　　　 ④

兩繩都繃直，必須

由以上解得F有最大值，解得F有最小值，所以F的取值為。