S₃=+=;

S₂=+=;

解 S₁==;

17.★(本小題滿分8分)已知數(shù)列,,,…,,…,計(jì)算S₁,S₂,S₃,S₄,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想S_n的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

分析 本題考查觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,考查數(shù)學(xué)歸納法在等式證明中的應(yīng)用.在用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要注意觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

16.(本小題滿分8分)求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題,常見的恒等式、不等式的命題可用數(shù)學(xué)歸納法證明,其他的如整除、幾何方面的命題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.在證明n=k+1時(shí),“配湊”的技巧掌握很重要,要有目的去“配湊”倍數(shù)式子,以及假設(shè)n=k時(shí)的式子.

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

則當(dāng)n=k+1時(shí),

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a?a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a?a^k+1+a?(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假設(shè)可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1時(shí)命題也成立.

∴對(duì)n∈N*原命題成立.                 8分

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,    6分

即n=k+1時(shí),命題成立.              7分

由(1)、(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.     8分

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²    3分