y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.      2分

19.(本小題滿分10分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時(shí),每瓶飲料的利潤最小?

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力.

解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

解得x=9.因?yàn)閤=9∈［1,10］,y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.

求導(dǎo)數(shù),得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解法二 由上面解法得到y(tǒng)=-6x²+108x+378.

18.★(本小題滿分10分)某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大?有多少元?

分析 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.

解法一 設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤y最大.         2分

依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］            4分

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                       8分

顯然,當(dāng)x=9時(shí),y_max=864(元),

即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大,最大利潤為864元.   10分

∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.       8分

又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

∴f′(x)=3x²-x-4.