32．(2004. 天津卷)(本小題滿分14分)

　　 橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)A，，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。

　 (I) 求橢圓的方程及離心率；

　 (II)若求直線PQ的方程；

　 (III)設(shè)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明

。

(22)本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。

(I)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為

　 由已知得

解得

所以橢圓的方程為，離心率　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(II)解： 由(I)可得

設(shè)直線PQ的方程為由方程組

得　　　

依題意 得

設(shè) 則

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由直線PQ的方程得　　 于是

　　　　 　　�、�

　　　 ④　　　　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分　　　　　　　　　　　　

由①②③④得從而

所以直線PQ的方程為

　　　　　 或　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

(III)證明：由已知得方程組

注意解得　 　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

因故　　　　　

而所以

　　　　　 　　　　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

31．解：(Ⅰ)依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得　　

　　 ①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以　 　　

由點(diǎn)P(0，m)分有向線段所成的比為，

得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0，－m)，從而.

所以　

(Ⅱ)由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6，9)、(－4，4).

由 　得

所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是　

即　

31．(2004.湖南理)(本小題滿分12分)

如圖，過拋物線x²=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

(I)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；

(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

30．本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力. 滿分12分.

(1)解法一：直線l過點(diǎn)M(0，1)設(shè)其斜率為k，則l的方程為

記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組

將①代入②并化簡得，，所以

于是

…………6分

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則

消去參數(shù)k得　　 ③

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方

程為………………8分

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

　 ④　　　　　 　�、�

④-⑤得，所以

當(dāng)時(shí)，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 將⑦代入⑥并整理得 　�、�

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，－2)，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)

也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

………………8分

(2)解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以

……10分

故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值，

最大值為……………………12分

注：若將代入的表達(dá)式求解，可參照上述標(biāo)準(zhǔn)給分.

30．(2004. 遼寧卷)(本小題滿分12分)

設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，

點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

　 (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

　 (2)的最小值與最大值.

29、(2004. 上海卷文科)圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為　 (x－2)²+(y+3)²=5　　　　 .

27、(2004.上海理)教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是　　　　　　　　　　 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)　 　　　　　　　　　　　　　　　　.

28、(2004. 上海卷文科)當(dāng)x、y滿足不等式組	2≤x≤4	時(shí),目標(biāo)函數(shù)k=3x-2y的最大值為6 .
y≥3
x+y≤8

26、圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為　　　　 　(x－2)²+(y+3)²=5 　　　　　　　.

25、(2004.上海理)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=－1,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為　 (5,0)　　 .

24. (2004. 天津卷)如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________