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對一道數(shù)學題的展開

賴友志

在數(shù)學復習教學中，選好一道例題。通過一題多思，一題多解，一題多講�？梢造柟虒W生知識，訓練學生思維，開拓學生視野。

例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ^＋且，求ｘ＋ｙ的最小值。

法一：均值不等式法

此題答案有誤。因為⑴，⑵式的等號不能同時成立，所以⑶式等號不能取。但事實上推導過程無誤，只不過擴大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導在選擇題時，其選擇項若是6，8，12，16，當可排除6，8，12得16。

此法作為例子強調(diào)使用重要不等式時等號成立條件的必不可少。

法2，1的妙用

法3，構(gòu)造x+y不等式法

變式：已知x+xy+4y=5  （x,y∈R^＋）求xy取值范圍

法4，換元后構(gòu)造均值不等式法

法5，用判別式法

注意實根分布情況討論。

類似地，如2x+y=6,求的范圍也可用判別式法。

法6，三角代換法

變：0<x<1,a>0,b>0，則的最小值

法7，導數(shù)法

以上所涉及到的方法都是學生應掌握的。通過一道例題講解即可復習多種方法。

2005年1月

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“能聽懂課，不會解題”的原因調(diào)查與分析

按：為了搞好高中數(shù)學教學，利用課余時間與職業(yè)高中同仁在兩校學生中作了抽樣調(diào)查，對學生反應的問題作了系統(tǒng)的分析，并在此基礎(chǔ)上提出自己的一些見解，省教研室評為二等獎。

內(nèi)容摘要：本文在對中學生數(shù)學學習中普遍存在 “能聽懂課，不會解題” 原因的調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，提出了改進教學方法、指導學生學習、學生如何學習的具體對策。

主 題 詞：聽課  解題  調(diào)查  分析

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在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維

在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維是時代的要求。要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，就應該有與之相適應的，能促進創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的教學方式。當前，數(shù)學創(chuàng)新教學方式主要有以下幾種形式：

1 、開放式教學。

這種教學在通常情況下，由教師通過開放題的引進，在學生參與下解決，

使學生在問題解決的過程中體驗數(shù)學的本質(zhì)，品嘗進行創(chuàng)造性數(shù)學活動的樂趣。開放式教學中的開放題一般有以下幾個特點。一是結(jié)果開放，一個問題可以有不同的結(jié)果；二是方法開放，學生可以用不同的方法解決這個問題；三是思路開放，強調(diào)學生解決問題時的不同思路。

2 、活動式教學。

這種教學模式主要是讓學生進行適合自己的數(shù)學活動，包括模型制作、

游戲、行動、調(diào)查研究等，使學生在活動中認識數(shù)學、理解數(shù)學、熱愛數(shù)學。

3 、探索式教學。

采用“發(fā)現(xiàn)式”，引導學生主動參與，探索知識的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、

問題的解決等過程。

要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力，應當在數(shù)學教學中充分有效地結(jié)合上述三種形式（但不限于這三種形式），通過逐步培養(yǎng)學生的以下各種能力來實現(xiàn)教學目標：

一 、培養(yǎng)學生的觀察力。敏銳的觀察力是創(chuàng)造思維的起步器。那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學生的觀察力呢？第一，在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。第二，要在觀察中及時指導。比如要指導學生根據(jù)觀察的對象有順序地進行觀察，要指導學生選擇適當?shù)挠^察方法，要指導學生及時地對觀察的結(jié)果進行分析總結(jié)等。第三，要科學地運用直觀教具及現(xiàn)代教學技術(shù)，以支持學生對研究的問題做仔細、深入地觀察。第四，要努力培養(yǎng)學生濃厚的觀察興趣。

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1993年全國高考數(shù)學科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，國家教委將“數(shù)學開放題”列為九五重點科研項目．相對于傳統(tǒng)的封閉題嚴密完整，開放題在構(gòu)成問題的要素――條件、策略、結(jié)論中有一些是不明確的（分別稱為條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題）．當前數(shù)學開放題之所以引起我們中學數(shù)學教師的關(guān)注，我以為一是以實踐能力、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要．數(shù)學開放題對培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性（結(jié)論開放）、聚斂性(條件開放)、創(chuàng)造性（策略開放），不失為好載體．二是高考命題的導向作用，數(shù)學開放題走進高考試卷的需要．三是數(shù)學走向應用的需要．我們的數(shù)學教育不僅要讓學生學會繼續(xù)深造所必需的數(shù)學基本知識，基本方法，基本技能，更重要的是讓學生學會用數(shù)學的眼光看待世界，用數(shù)學的思維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決現(xiàn)實生活中的問題．

為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學．本文談對數(shù)學開放題教學的一些認識，不當之處，謹請多多指教．

１、砸破籬笆，讓學生展開想象的翅膀

青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代．開放題往往形式活潑，供學生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學生提供了一個展翅的舞臺．而封閉題往往形式單一，要求學生在特定的范圍內(nèi)進行定向思維．長期作這類機械式的思維訓練，學生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學活動，不僅沒有促進學生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想．通過開放式教學，可以讓學生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身才華．

根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬：

開放題１ 我校準備在長120米，寬100米的空地上建造操場，請同學們設(shè)計操場形狀，思考能否造出滿足以下條件的環(huán)形操場．

①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內(nèi)圈為300米．

本題有學生認為不能造出滿足要求的操場，他認為操場應由兩個半圓和一個矩形構(gòu)成（如圖１），經(jīng)計算，跑道內(nèi)圈無論如何達不到300米的要求．也有學生認為能造出滿足要求的操場，可將操場設(shè)計成如圖２，由四個四分之一圓弧及五個矩形構(gòu)成．還有學生將操場設(shè)計成如圖３，彎道部分由三段圓弧組成，他們認為這樣才是操場．更有學生將操場設(shè)計成花園式（如圖４），跑道全部由圓弧組成，他們認為這樣的操場更美．

開放題2  用一塊長2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計加工鏡子(注S_橢=)．

本題主要考察學生如何畫出橢圓，培養(yǎng)學生的動手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學生親手畫一畫，動手截一下．學生至少可從以下幾個角度去思考:①建立坐標系，寫出方程描點；②確定焦點，長軸長，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；④用橢圓規(guī)工作原理(P124)．

2、傳授定式，幫學生克服畏懼的心理

開放題引入課堂教學之初，學生的表現(xiàn)往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學生建立科學的思維定式．

⑴尋找充分條件型開放題．

開放題3　在直四棱柱中（如圖５），當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件       時，有（填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．

這類題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件．這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點，學生一開始往往不習慣．

⑵“是否存在”型開放題．

開放題4  設(shè){}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項和.是否存在常數(shù)Ｃ>0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）．

這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較小．若“存在”，就是具有適合條件的某種數(shù)學對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在．若“不存在”，一般需要有嚴格的推理論證．故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設(shè)存在滿足條件的數(shù)學對象，如果找出矛盾，說明假設(shè)不成立，進而否定假設(shè)，如果經(jīng)過嚴格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可．

⑶猜想型開放題．

開放題5  已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列,b₁＋b₂＋……＋b_ｎ＝145， b₁=1．①求數(shù)列{b_n}的通項b_n；②設(shè)數(shù)列{a_n}的通項a_n= 其中a＞0且a≠1），s_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，試比較s_n與的大小(1998高考理科第25題)．

解答這類開放題，要求學生學會猜想．牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”美國數(shù)學教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測吧！”可我們在日常教學中，往往過分強調(diào)數(shù)學學科的嚴謹性和科學性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學生覺得數(shù)學枯燥、無趣、難學．

我們應該教會學生如何猜想．教學生通過實驗、觀察，進行猜想，教學生通過對特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規(guī)律（共性），教學生通過比較、概括得到猜想，教學生對具體問題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴密的數(shù)學證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學生體會到數(shù)學也是生動活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學科．不至于學生說“過了幾十年，還做學習數(shù)學的惡夢”（徐利治語，見文５）．

３、開展實驗，用計算機輔助開放式教學

利用計算機強大的計算功能和作圖功能輔助開放式教學，有利于改善課堂氣氛，激發(fā)學生的學習興趣；有利于“觀察（實驗）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運用，快捷方便地驗證學生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動的時間．

開放題6 （荒島尋寶）從前，有個年輕人在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)一張破羊皮紙，上面指明了一項寶藏，內(nèi)容是這樣的：

“在北緯＊＊，西經(jīng)＊＊，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架．從絞架走到橡樹，并記住所走的步數(shù)，到了橡樹向左拐一個直角，再走相同的步數(shù)并在那里打個樁．然后回到絞架再朝松樹走去，同時記住所走的步數(shù)，到了松樹向右拐一個直角，再走相同的步數(shù)并在那里也打個樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏．”

年輕人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了．長期的日曬雨淋，一切痕跡也不復存在．年輕人無從下手，只好空手而返．同學們，你能用數(shù)學方法幫助這位年輕人嗎？

本題，學生往往不知從何處入手．如果我們利用數(shù)學教學軟件幾何畫板制作圖６（設(shè)Ａ，Ｂ兩點為橡樹和松樹所在地，假設(shè)Ｃ為絞架所在地．依題意找到打樁處Ｄ，Ｅ）．不妨先讓我們做一個小實驗．拖動點C，我們將會發(fā)現(xiàn)，無論C在何處，DE中點H是不動的．我們問：這說明什么？寶藏是否就在中點Ｈ處？

這樣，學生將會積極地思索，不難從解析幾何，復數(shù)、向量、平面幾何角度尋求具體的解決方法．

學習“過拋物線 的頂點Ｏ作二條互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)則弦AB 恒過定點(2P ，O ) ”之后,引導學生探討：

開放題7  過拋物線 上任一點C(， ) 作二條互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 則弦AB有什么特性? 利用幾何畫板設(shè)計如圖 ；

 探討過程為 ：

1 、雙擊移動按紐 “ 移 動C→O ” 顯示直角頂點在原點時，弦AB 恒過定點(2P ，0)  .

2、直角頂點移回C 處，對AB作軌跡跟蹤，發(fā)現(xiàn)弦AB過一定點.

3、作出該定點D并顯示該點坐標.

4、尋找關(guān)系：⑴ 顯示C及點C關(guān)于X軸對稱點E的坐標，我們發(fā)現(xiàn)點D與點E的縱坐標相同.⑵ 作出線段ED并顯示長度，發(fā)現(xiàn) ED = 2P.

5 、改變點C 的位置，或拖拉焦點F,變化P 的長度再作上述觀察.確認我們的結(jié)論正確,從而猜想弦AB恒過定點D(，)  .

6 、用代數(shù)方法證明以上猜想.

參考資料

1、戴再平：數(shù)學習題理論，上海教育出版社．1991.4

2、張奠宙：數(shù)學教育的全球化，開放化、信息化、數(shù)學教育．1998.5

3、王珂：從高考的新題型―開放題引起的思考，數(shù)學通報． 1999.12

４、陳錫龍:設(shè)計開放性的數(shù)學教學初探,中學數(shù)學教學參考．1999.10

５、“現(xiàn)代數(shù)學及其對中小學數(shù)學課程的影響”數(shù)學家座談會紀要            數(shù)學通報． 1999,11.

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例 談 情 境 教 育

內(nèi)容提要：情境教育是素質(zhì)教育的一種教育模式，它服務(wù)于素質(zhì)教育，是實施素質(zhì)教育的一條有效途徑。創(chuàng)設(shè)良好的教學情境，能使數(shù)學教學達到意想不到的效果。本文從兩個定理的教學情境的創(chuàng)設(shè)，以及達到的教學效果出發(fā)，論述情境教育在素質(zhì)教育中的重要意義。

關(guān)鍵詞：情境教育；情境教學；素質(zhì)教育

一 情境教育

情境教育是由情境教學發(fā)展而來的。近半個世紀來，中國的教育受凱烙夫教育思想的影響極深，注重認知，忽略情感，學校成為單一傳授知識的場所。這就導致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質(zhì)的全面提高，尤其是影響了情感意志及創(chuàng)造性的培養(yǎng)和發(fā)展。情境教學則針對我國傳統(tǒng)的注入式教學造成的中學數(shù)學教學的弊端而提出的，這些弊端是：呆板、繁瑣、片面、低效，以及壓抑學生興趣、特長、態(tài)度、志向等素質(zhì)發(fā)展。情境教學開辟了一條促進學生主動發(fā)展，人格素質(zhì)全面發(fā)展的有效途徑。

情境教育反映在數(shù)學教學中，就是要求教師注重數(shù)學的文化價值，創(chuàng)設(shè)有利于當今素質(zhì)教育的問題情境。在數(shù)學課中加入數(shù)學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過，課堂氣氛會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學生開闊了眼界，知道一個定理的發(fā)現(xiàn)過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多方面去思考問題。教師可以給予一定的物質(zhì)條件，讓學生自己動手實踐，自主探索與合作交流。

二 兩個定理的教學

在初二幾何的勾股定理的教學中，如果教師講授新課時，照本宣科地將知識程式化地交給學生，學生即使知其然，卻不知其所以然。失去了對知識、技能、方法的領(lǐng)悟過程。不如先給學生講“勾股定理”的歷史及其一些著名的證明方法，把學生帶入勾股定理的教學情境。

教師可介紹：《九章算術(shù)》記載：今有勾三尺，股四尺，問為弦?guī)缀�。答曰：五尺[1]。

我國古代稱直角三角形的短直角邊為勾，長直角邊為股，斜邊為弦[2]。又如《周髀算經(jīng)》稱：“勾廣三，股修四，徑隅五�！闭n本表述為：勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理，國外稱為：畢達哥拉斯定理。勾股定理作為幾何學中一條重要的定理，古往今來，有無數(shù)人探索它的證明方法。同學們能否猜出有幾種證法？怎么證？

這個問題一提出，就讓學生倍感新鮮、有趣。當教師告訴學生它的證明方法有500來種，更讓他們吃驚。接著教師可以向?qū)W生介紹歷史上幾種著名的證法。如果學校教學條件允許的話，教師可發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，利用現(xiàn)代教育媒體，配合教學課件，為學生展現(xiàn)證明的過程，使學生印象更深刻。

（課件演示）

（一）     劉徽以割補術(shù)論證這一定理（圖1）

（二）     趙君卿注里記載的證法    （圖2）

2ab+(b-a)²=c² 化簡為 a²+b²=c²

（三） 利用相似三角形的性質(zhì)的證法 （圖3）

直角三角形ABC，AD為斜邊BC上的高。

利用相似三角形的性質(zhì)可得：

AB∶BC=BD∶AB   即   AB²=BD×BC

      AC∶BC=DC∶AC        AC²=DC×BC   

    兩式相加得：AB²+AC²=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC²

	B   朱出   a 朱方   青入 C      b   A 青入        朱入           青出 青出        c          a b                 （圖1）          （圖2）        （圖3） （四）如圖一：兩個正方形邊長分別是a，b。它們的面積和為 a2+b2       如圖二：在圖一的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了以a，b為直角邊的直角三角形，斜邊為c。 在圖二的基礎(chǔ)上把兩個直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)成了如圖三的正方形，且它的邊長為c，即面積為c2。 定理得證。       a   c         b a   b a     c b b      a         （圖一）               （圖二）                （圖三）   教師在演示課件時，可介紹這幾種證明方法，讓學生清楚運用割補法、等比法、代數(shù)法等可證明定理。學生們觀看了教師所演示的勾股定理的幾種證法之后，有了一種豁然開朗的感覺，并為之驚嘆！產(chǎn)生“竟有此事”之感。如此簡明、巧妙的證法，且都是非常形象、簡單。這時，教師可抓住這時學生產(chǎn)生驚詫，思維正處于積極活動狀態(tài)的教學情境，讓學生用課前準備的材料，自己動手試一試。 要求：用8個全等的直角三角形，它們的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c；3個邊長分別為a，b，c的正方形，用拼圖的方法來證明勾股定理。             （圖4）     教師演示的各種前人證明勾股定理的方法，激發(fā)了學生的求知欲，他們迫不及待地想自己動手嘗試，希望自己也能證明定理。由于有了許多前人的證法作鋪墊，學生有條件、有能力去思索和探究。學生們在教師的指導下，很快就能把定理證出來（如圖4）。教師也就能在一個輕松的環(huán)境中完成“勾股定理”的教學。 因此，教師所創(chuàng)設(shè)的這個勾股定理的教學情境，由于引入了勾股定理的歷史背景，及簡明、巧妙的證法，為學生學習定理提供了環(huán)境，激發(fā)了學生的學習動機和好奇心，培養(yǎng)了學生的求知欲望。教學過程中教師還要求學生自己動手實踐，使學生深入其境，真正作為一個主體去從事研究。調(diào)動了學生學習的積極性和主動性[3]。提高學生運用知識解決實際問題的能力和動手能力，學生在實踐過程中，免不了與其他同學合作、交流，同時也就培養(yǎng)了學生的合作精神，在這過程還能使學生嘗試失敗和挫折，體驗成功的喜悅！所有這些，都對后續(xù)學習起了一定的激勵作用。所以，實施素質(zhì)教育，創(chuàng)設(shè)教學情境至關(guān)重要。 在素質(zhì)教育中，我們提倡提高教學效率，減輕學生學習負擔。所謂教學效率是學習收獲與師生的教學活動量在時間尺度上的度量。教師只有注重提高課堂教學效率，才能在保證教學質(zhì)量的同時，努力減輕數(shù)學課的學習負擔，讓學生獲得較好的自由度，發(fā)揮較大的積極性和主動性。下面以“三角形中位線定理”一節(jié)為例[4]，談?wù)勄榫辰虒W對提高課堂教學效率的積極作用。 在“三角形中位線定理”這一節(jié)中，教科書中利用“平行線等分線段定理推論2”得到了“三角形中位線定理”。它是運用同一法思想來推理的。初中學生還不容易接受，但決不能因此而簡單地把定理告訴學生，然后就開始練習。我們可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)誘導引入新知識，激發(fā)學生的求知欲，讓他們在迫切要求之下學習。 在復習平行線等分線段定理的推論2后，結(jié)合圖形（圖5）分清定理的條件是AD=BD，DE∥BC。結(jié)論是AE=CE。 （圖5） 提出問題后，學生可能證明結(jié)論有些困難，這時可稍作引導，提醒學生：“我們現(xiàn)有幾種判定平行的方法？”學生容易聯(lián)想到同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補等方法，可提醒學生還有：平行四邊形來判定對邊平行。并注意條件是AD=BD，AE=CE。這時同學們經(jīng)思考有些已找到思路。通常能找到兩種證明方法。 一種是如圖6，延長DE至F使EF=DE。由ΔADE≌ΔCFE得AD∥CF且AD=CF。從而證得四邊形DBCF是平行四邊形，所以DE∥BC。 （圖6） 教師可用多媒體設(shè)備，演示課件，把兩個證明過程演示出來，這樣更吸引了學生的注意，最后介紹教科書上的推理過程。在這樣的教學過程中，既激發(fā)了學生學習幾何的興趣，又使學生對三角形中位線定理有了深刻的理解。同時活躍了學生的思維，收到較好的課堂教學效果。 但教師應不極限于常規(guī)的證法，應積極創(chuàng)造條件，要學生去思索、去研究、去創(chuàng)造。比如三角形中位線定理，可嘗試用向量的方法來證明。 如圖7，在ΔOAB中，C、D分別為OA、OB的中點，設(shè)有向線段  ， ∴ 同理： （圖7） 用向量計算代替?zhèn)鹘y(tǒng)平面幾何中有些過于復雜的演繹推理，這不僅是一種解題方法的變革，更重要的是研究平面幾何的觀點的變革。這種變革，已逐漸成為平面幾何教材的一種流派。用向量法計算，有時可避免用演繹法時所帶來的某些麻煩。 這里教師還可設(shè)置懸念，為下節(jié)課梯形中位線定理的教學埋下伏筆。讓學生親自動手畫梯形，并測量其上、下底和中位線的長度，要求學生探索梯形的上、下底和中位線是否和三角形一樣具有一定的數(shù)量關(guān)系。這樣會激起學生繼續(xù)學習的熱情。 由于學生親自做一做，測一測，猜一猜等實踐活動，初步得出結(jié)論：梯形中位線好象平行于兩底并且約等于兩底和的一半。這時教師可通過多媒體關(guān)于角的重疊，線段的疊加等演示活動，讓學生形象直觀的進一步加深對自己的發(fā)現(xiàn)正確性的強烈印象。教師再給出證明定理的基本策略提示： （一）           證線段平行的途徑和方法： 1、兩條平行線互相平行→證線段平行 2、平行四邊形兩組對邊平行→證平行四邊形 3、三角形中位線平行底邊→證三角形中位線 （二）           證明一線段等于兩線段和的途徑和方法有：      把線段分成兩段使其分別與要證的兩線段相等，或把兩線段合成一線段使其與另一線段相等，再利用三角形全等，或用三角形中位線定理證之。 證明基本策略給出后就給了學生充分自主的活動空間，充分調(diào)動了他們學習的積極性，使其成為學習的主人。因此，學生得出許多不同的證明方法。     （方法一）        （方法二）            （方法三）                （方法四）                    （方法五）     這種讓學生實踐、體驗的教學方式與傳統(tǒng)教學中單純的知識傳授和結(jié)果測查截然不同的，它更注重于學習的過程。 學習完了定理，如何讓學生更好地掌握定理呢？數(shù)學中的定理是一個有序的結(jié)構(gòu)體系，要掌握一個定理，必須了解它在定理體系中的地位和作用，以及它們之間的關(guān)系。雜亂無章的定理，猶如散沙一盤，不便于保持和選取。在教學中應引導學生按定理的內(nèi)在聯(lián)系將它們組織成一個邏輯圖，形成定理鏈，使之在定理的結(jié)構(gòu)體系中掌握定理。如“三角形中位線定理”與“梯形中位線定理”的聯(lián)系：（如圖8）當梯形的上底等于零時，梯形變成三角形，這時，“梯形中位線定理”與“三角形中位線定理”等價，即“三角形中位線定理”是當梯形上底等于零時的“梯形中位線定理”。教師可以用多媒體課件演示它們之間的關(guān)系，加深學生對它們的關(guān)系的理解。   <th id="e44ug"><strong id="e44ug"><acronym id="e44ug"></acronym></strong></th> （圖8）         在此過程中，教師還可進一步拓展定理，提出：“當梯形和三角形的中位線所在的直線向上、下平移時，會產(chǎn)生什么后果？各線段之間有何聯(lián)系？”這樣又創(chuàng)設(shè)了一個問題情境，使學生很自然地進入到另一個問題情境中，教師也就順利地把學生的思維帶到了“平行線分線段成比例定理及其推論”的教學中來。這個教學過程是師生交流、共同發(fā)展的互動過程，教師在教學過程中，不僅是傳播知識，更重要的是發(fā)揮育人的功能，培養(yǎng)學生掌握和利用知識的素質(zhì)和能力。發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學生的潛能，提高教學效率，減輕學生學習負擔。 三 創(chuàng)設(shè)教學情境應注意的幾個問題 以上兩個例子的教學情境的創(chuàng)設(shè)說明：情境教學能促進教學過程變成一種不斷能引起學生極大興趣的，向知識領(lǐng)域不斷探索的活動。它借助新異的教學手段，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，激發(fā)學生的學習情緒，使學生固有的好奇心、求知欲得以滿足。但應注意以下幾個問題： 1、      教師在創(chuàng)設(shè)問題情境時，一定要緊扣課題，不要故弄玄虛，離題太遠，要有利于激發(fā)學生思維的積極性、要直接有利于當時所研究的課題的解決，既要考慮教學內(nèi)容又要考慮學生的差異，注意向?qū)W生提示設(shè)問的角度和方法。使學生從教師的情境設(shè)計教學中學到提問題的本領(lǐng)。一個好問題應該是解答中包含著明顯的數(shù)學概念與技巧；或問題有多種解法；或問題能夠推廣各種情形；或問題來自學生的經(jīng)驗和日常生活中[5]。 2、      要啟發(fā)引導，保持思維的持續(xù)性。首先要給學生一定的思考時間和空間，必要時可作適當?shù)膯�發(fā)引導，教師的啟發(fā)要遵循學生思維的規(guī)律，因勢利導、步步釋疑，切不可不顧學生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)，超前引路，也不可強制學生按照教師提出的方法和途徑去思考問題，越俎代庖。 3、      要不斷向?qū)W生提出新的數(shù)學問題，要提出帶有導向性、難度適宜、啟發(fā)性的問題。其實，問題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問題，是否能夠觸及問題的本質(zhì)，并引導學生深入思考。 4、      鼓勵學生大膽發(fā)言，保護學生的獨特見解，即使對沒有多大價值的問題，也要盡量找出合理部分，給予及時的肯定和表揚。 四 結(jié)束語 教學實踐證明，精心創(chuàng)設(shè)各種教學情境，能夠激發(fā)學生的學習動機和好奇心，培養(yǎng)學生的求知欲望，調(diào)動學生學習的積極性和主動性，提高學生運用知識解決實際問題的能力，同時又使課堂教學豐富多彩，生動活潑，另外，對教師也提出了更高要求，不僅自己要刻苦鉆研、精心設(shè)計，而且要經(jīng)常向別人學習，學習別人先進的教學方法和設(shè)計思路，另外還要敢于示范，在學生面前展示自己的思維過程，在教學中應打破“老師講，學生聽”的習慣，變“傳播”為“探究”，充分暴露知識形成的過程，促使學生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律，獲得成功，同時激發(fā)學生鉆研，從而為學生將來成為創(chuàng)造型人才奠定基礎(chǔ)�？傊�，情境教育是實施素質(zhì)教育的有效途徑。       參考文獻 【1】白尚恕 《九章算術(shù)》注釋[M]  科學出版社  1983 【2】人民教育出版社中學數(shù)學室 幾何[M]   人民教育出版社 2001，3 【3】燕國材 素質(zhì)教育概論[M]  廣東教育出版社  2002，1 【4】陳  虹 教學結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化一例[J]  中學數(shù)學月刊 2000年，第2期 【5】 施文娟 發(fā)揮問題情境教育在數(shù)學教學中的作用[J]  寧波大學學報（教育科學版）2001年，第3期         試題詳情 “直線與平面”錯解點擊 四川省樂至縣吳仲良中學   毛仕理   641500  (0832)3358610 maoshili@126.com         在“直線與平面”內(nèi)容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關(guān)系，引進了一些基本概念和數(shù)學方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對于這類特定的概念理解不準確，對這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時就容易出錯．      下面通過幾例，對產(chǎn)生錯誤的解法進行分析，研究糾正錯誤的方法，從中吸取有益的教訓，以加深對知識的理解，提高解題能力．      例1  證明；斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上．      錯解  如圖,   對于平面，直線AB是垂線，垂足B是點A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．      在AC上任取一點P，過P作PO⊥交BC于O，      ∴點P在平面上的射影在BC上．      點擊   這樣的證明似乎有點道理，事實上這些點也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細分析，這些點在這條斜線在該平面的射影上的理論根據(jù)不足，過點P作PO⊥交BC于O，恰恰是本題要證明的．是一種易犯的邏輯錯誤，許多同學在解題中往往錯而不覺，對此應引起警覺．      正解   AC是平面的斜線，點C是斜足，AB⊥，點B是垂足．      則BC是AC在平面上的射影．      在AC上任取一點P，過點P作PO⊥,垂足為O．       ∴AB⊥，  ∴PO ∥AB，       ∵點P在A、B、C三點確定的平面上，因此，PO平面ABC，       ∴ O∈BC．      例2  已知、是兩個不重合的平面，      ①若平面⊥平面，平面⊥平面，則平面∥平面；      ②若平面內(nèi)不共線的三個點到平面的距離相等，則平面∥平面；      ③a、b是平面內(nèi)的兩條直線，且a∥，b∥，則平面∥平面；      以上正確命題的個數(shù)為(    )．      (A)O個          (B)1個          (C)2個        (D)3個      錯解  三個命題都正確，選(D)．      點擊   產(chǎn)生錯誤的原因是對問題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關(guān)系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋“特殊”．如判斷①、②是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況．         (1)             (2)                 (3)             (4)      而判斷③是真命題，則是對平面與平面平行的判定定理：“如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行”沒有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相交直線”．      正解    因為三個命題都不正確，所以選(A)．      例3  如圖   E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的三等分點，求證：E1H1，與F1G2是異面直線．     錯證1  (直接法)                 ①連BD，由題設(shè)=，=，      ∴ E1H1與BD不平行，設(shè)其交點為P， 則P∈BD．      ∵ ==,      則  F1G2∥BD，∴  PF1G2．      ②又E1P平面BCD，且E1∈E1P，       ∴ E1平面BCD．     故平面BCD內(nèi)一點P與平面BCD外一點E1的連線E1P(即E1H1)與平面BCD內(nèi)不過P點的直線F1G1是異面直線．       錯證2   (反證法)       設(shè)E1H1與F1G2不是異面直線，則E1H與F1G相交或E1H1∥F1G2．       ①設(shè)E1H1 ∩F1G2=P，        ∵E1H 平面ABD，F(xiàn)1G 平面CBD，       則E1H1與F1G2的公共點P應在平面ABD與平面CBD的交線BD上，       則F1G2∩ BD=P，這與F1G2∥BD    (∵△CBD中，==)矛盾，       ∴ E1H1與F1G2不相交．       ②設(shè)E1H1∥F1G2，        ∵ F1G2∥BD，由公理4知       E1H1∥BD，這與E1H1 BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1與BD不平行，必相交于一點P)矛盾，       ∴ E1H1與F1G2不平行．       綜合(1)、(2)知E1H1與F1G2是異面直線．       點擊    采用證法1時，有些同學往往忽略強調(diào)點P在平面CBD上但不在直線F1G2上，且點E1在直線E1P上但不在平面CBD上，只證E1H1與F1G2無公共點的一面，而忽視它們不在同一平面上，便得出E1H1與F1G2是異面直線的結(jié)論，這是對其判定定理的片面理解，因而是錯誤的．       在采用證法2時，易犯的錯誤也是不全面，只排除了E1H1與F1G2不可能相交而忽略了還應排除它們平行的可能．因此，一定要深刻理解異面直線的定義，克服證題中的片面性．       例4  在正方體ABCD―A1B1C1D1中，求它的對角線BD1與平面A1B1CD所成的角． 錯解   連結(jié)A1C交BD1于E，則∠D1EA為BD1與平面A1B1CD所成角．設(shè)正方體的邊長為a. 則A1E=D1E=a．又  A1D1=a， 在△A1ED1中，由余弦定理得 cos∠A1ED1= ===      ∴∠A1ED1=arccos,即BD1與平面A1B1CD所成角為arccos.      點擊   以上證法的錯誤在于，∠A1ED1不是直線BD1與平面A1B1CD所成的角.平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角，本題中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影．正是對“直線在平面內(nèi)的射影”這個概念理解不清，導致了以上錯誤，所以在解此類題時，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影. 正解    ∵A1B1⊥平面A1ADD1,   又A1B1平面A1B1CD ∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD. 連結(jié)AD1交A1D于O,則D1O⊥A1D, ∴D1O⊥平面A1B1CD. 連A1C交BD1于E，連OE，則OE為D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影, ∴∠D1EO為BD1與平面A1B1CD所成的角. 設(shè)正方體的邊長為a, 則D1O=a, OE=AB=a, 在RtD1OE中,    tan∠D1EO==,       ∴ ∠D1E0=aretan，即BD1與平面A1B1CD所成的角為arctan.      例5  已知，AB是半徑為R的⊙O的直徑，0C⊥AB，P、Q是圓上兩點，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折疊使半圓面成一直二面角(如圖)，求P、Q兩點間的距離. 錯解   在平面AOC內(nèi)，過點P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，則PD⊥平面BOC，連結(jié)DQ，       ∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A―O―CB的平面角，        ∴∠PDQ=900．        ∵∠AOP=300， ∴∠POD=600．     在Rt△POD中， PD=Rsin600=R,     在Rt△DOQ中， DQ=Rsin450=R,      ∴在Rt△PDQ中，PQ===,       即P、Q兩點間的距離是．     點擊   此證法的錯誤在于對二面角的平面角理解有誤．判定一個角是否是二面角的平面角，必須同時滿足三個條件：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；③這兩條射線都必須垂直于棱．誤解中忽視了條件③中的“都”字，事實上，DQ與OC不垂直，這再次提醒我們必須搞清空間每個元素的確切含義，概念一定要清楚，解題過程中要嚴格按定義要求落實，不能隨心所欲．     正解   同錯解，得PD=R. 又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得     DQ2=0D2+0Q2一20D?OQcos450       ==R2     在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=                         ==. 故P、Q兩點之間的距離為. 試題詳情 西南師大附中2008―2009學年度上期期末考試 高一化學試題 （總分：150分    考試時間：120分鐘） 注意事項： 1．答卷前考生務(wù)必將自己的班級、姓名、學號和考試科目用鋼筆、鉛筆分別填在機讀卡和第II卷密封線內(nèi)。 2．第I卷每小題選出答案后，用鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。 3．第II卷用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卷上。 4．考試結(jié)束，將機讀卡和答題卷上交（第I卷和第II卷自己保留好，以備評講） 第Ⅰ卷  選擇題（共72分） 相對原子質(zhì)量：  H 1   He 4   C 12    N 14    O 16     Na 23    F 19   Al 27   Cl 35.5                 K 39    Mn 55   Fe 56    Cu 64    Br 80   Ag 108  試題詳情 高二化 學 試 題（B卷） 注意事項： 1. 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷 54分，第Ⅱ卷 46分，共100分，考試時間90分鐘。 2．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。 3．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能寫在試卷上。答第Ⅱ卷時，用藍、黑鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。 相對原子質(zhì)量：H1 C12  N14  O16  F19  Na23  Mg24  Al27  P31  S32  Cl35.5  K39  Ca40  Mn55 Fe56  Cu64  Zn65  Br80  Ag108  I127 第Ⅰ卷（選擇題 共54分） 試題詳情 2008年哈九中第五次月考語文試題               2008年12月29日 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分，考試時間7：40――10：00，140分鐘。 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷(選擇題共30分)    注意事項：    1． 答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。    2． 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答案在試卷上的無效。 試題詳情 同步練習冊答案 全品作業(yè)本答案 同步測控優(yōu)化設(shè)計答案 長江作業(yè)本同步練習冊答案 同步導學案課時練答案 仁愛英語同步練習冊答案 一課一練創(chuàng)新練習答案 時代新課程答案 新編基礎(chǔ)訓練答案 能力培養(yǎng)與測試答案 更多練習冊答案 百度致信 - 練習冊列表 - 試題列表 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū) 違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com 版權(quán)聲明：本站所有文章，圖片來源于網(wǎng)絡(luò)，著作權(quán)及版權(quán)歸原作者所有，轉(zhuǎn)載無意侵犯版權(quán)，如有侵權(quán)，請作者速來函告知，我們將盡快處理，聯(lián)系qq：3310059649。 ICP備案序號: 滬ICP備07509807號-10 鄂公網(wǎng)安備42018502000812號