西安中學
師大附中
高2009屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數(shù) 學 理 科
命題人:師大附中 孫永濤
審題人:高新一中 王勝利
一、選擇題(每小題5分,滿分60分)
1.復數(shù)等于
A. B. C. D.
2.滿足條件的所有集合的個數(shù)是
A.1 B
3.函數(shù)的反函數(shù)為
A. B.
C. D.
4.若則下列結論正確的是
A. B. C. D.
5.函數(shù)的部分圖象如圖,則
A.; B. ;
C. ; D. 。
6.過正三棱錐的側棱與底面中心作截面,如果截面是等腰三角形,則側面與底面所成角的余弦值是
A. B. C. D.或
7.過點且與雙曲線只有一個交點的直線有
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
8.點在內(nèi),滿足,那么與的面積之比是
A. B.? C. D.
9.從單詞“education”中選取5個不同的字母排成一排,則含“at”(“at”相連且順序不變)的概率為
A. B. C. D.
10.設二項式的展開式的各項系數(shù)和為,所有二項式系數(shù)的和是,若,則
A.6 B
11.已知函數(shù)滿足對任意,都有成立,
則的取值范圍是
A. B. C. D.
12.集合中的元素都是整數(shù),并且滿足條件:①中有正數(shù),也有負數(shù);②中有奇數(shù),也有偶數(shù);③;④若,則。下面判斷正確的是
A. B. C. D.
二、填空題(每小題4分,滿分16分)
13.方程表示的曲線所圍成區(qū)域的面積是 ;
14 .對2×2數(shù)表定義平方運算如下:
. 則 ;
15.如圖,從點發(fā)出的光線沿平行于拋物線對稱軸的方向射向此拋物線上的點,反射后經(jīng)焦點又射向拋物線上的點,再反射后沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向直線上的點,再反射后又射回點,則= .
16.若數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列也為等差數(shù)列,類比上述性質,若數(shù)列是等比數(shù)列,且,則有________也是等比數(shù)列.
17.(本小題滿分12分)
三、解答題
已知向量,其中,記函數(shù),已知的最小正周期為.
(Ⅰ) 求;
(Ⅱ)當時,試求的值域.
18.(本小題滿分12分)
袋中裝著標有數(shù)字1,2,3的小球各兩個,從袋中任取兩個小球,每個小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的兩個小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(Ⅱ)用表示取出的兩個小球上的數(shù)字之和,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
19.(本小題滿分12分)
如右圖,將一副三角板拼接,使它們有公共邊,且使兩個三角板所在平面互相垂直,若,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面.
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
(Ⅲ)求到平面的距離.
20(本小題滿分12分)
已知橢圓的兩個焦點分別是,是橢圓在第一象限的點,且滿足,過點作傾斜角互補的兩條直,分別交橢圓于兩點.
(Ⅰ)求點的坐標;
(Ⅱ)求直線的斜率;
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),
(Ⅰ)若,試確定函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若,對于任意的,恒成立,求的取值范圍;
22.(本小題滿分14分)
設對于任意的實數(shù),函數(shù),滿足,且
,,
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式;
(Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和
(Ⅲ)已知,設,是否存在整數(shù)和。使得對任意正整數(shù),不等式恒成立?若存在,分別求出和的集合,并求出的最小值;若不存在,請說明理由.
西安中學
師大附中
高2009屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數(shù)學理科答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
C
D
D
B
A
C
A
C
二、填空題(每小題4分,滿分16分)
13.24; 14.; 15.6; 17.
17(本小題滿分12分)
三、解答題(滿分74分)
解:(Ⅰ) ==.
∵ ,∴ , ∴=1;
(Ⅱ) 由(1),得, ∵ , ∴ .
∴ 的值域 .
18(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)記“取出的2個小球上的數(shù)字互不相同”為事件,
從袋中的6個小球中任取2個小球的方法共有種,其中取出的2個小球上的數(shù)字互不相同的方法有種,∴ ;
(Ⅱ)由題意,所有可能的取值為:2,3,4,5,6.
,, ,.
隨機變量的概率分布列為
2
3
4
5
6
的數(shù)學期望.
19.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由于平面平面,且,那么平面,而平面,則………①,又………②,………③,所以平面,又因為平面,所以平面平面;
(Ⅱ)取中點,作于,連,則平面,為二面角的平面角。
中,,則,,,,
中,
∴二面角的正切值為2;
(Ⅲ)作于,則平面
中,,,,
即到平面的距離為。
20.(本小題滿分12分)
解:Ⅰ由于,,設,由得
,
那么,與聯(lián)立得
Ⅱ設,那么,其中,將直線的方程代入橢圓得,
由于,而,那么
將直線的方程代入橢圓得,
由于,而,那么
那么
,那么
21.(本小題滿分12分)
解:Ⅰ當時,設,
,則
當時,,則函數(shù)是單調增函數(shù);
當時,,則函數(shù)是單調減函數(shù);
Ⅱ設,由于函數(shù)是偶函數(shù),那么要使,只需要在時成立即可;
當時,,若,那么,函數(shù)單調遞增,,所以………①
當時,令,則(),列表
-
0
+
減函數(shù)
最小值
增函數(shù)
則,解,則,結合*式得………②
綜上所述,當時,恒成立。
.
22.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)取,得,取,
故數(shù)列是首項是1,公比為的等比數(shù)列,所以
取,,得,即,故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,又,所以
(Ⅱ)
,兩式相減得
所以
(Ⅲ),
所以是增函數(shù),那么
由于,則,由于,則,所以
因此當且時,恒成立,所以存在正數(shù),使得對任意的正整數(shù),不等式恒成立.此時,的集合是,的集合是,
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