安徽省安慶一中2009年高三第二學期高考模擬試卷(四)

數學(理科)

(時間:120分鐘  滿分:150分 )

一、選擇題:(本大題共10小題,每小題5分,共50分)

1.若集合,,那么---------------( ▲ )

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A.        B.        C.         D.

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2.復數----------------------------------------------------( ▲ )

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 A.          B.            C.           D.

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3.在等比數列中,已知,那么---------------------( ▲ )  

A.4           B.6             C.12             D.16

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4.在△ABC中,,則k的值是------------( ▲ )

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  A.5           B.-5           C           D.

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5.某班50名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與19秒之間,將測試結果按如下方式分成六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;…;第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. 設成績小于17秒的學生人數占全班人數的百分比為,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為-------------------------( ▲ )

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A.   B.     C.      D.

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6.如圖,程序框圖所進行的求和運算是----------------( ▲ )
A. + + + … +    

B.1 + + + … +
C. 1 + + + … +   

D. + + + … +

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7.已知∈(,),sin=,則等于( ▲ )

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A.      B.     C.        D.

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8.設拋物線的焦點為F,經過點P(2,1)的直線與拋物線相交于A、B兩點且點P恰為AB的中點,則|AF|+|BF|=--------------------------------------------( ▲ )             A.10             B.8             C.6                D.4

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9.設為互不重合的平面,為互不重合的直線,給出下列四個命題:

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 ①若,則;                ②若,則;

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③若,則; ④ 若.

其中所有正確命題的序號是----------------------------------------------( ▲ )

A.①③         B.②④           C.①④             D.③④

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10.若直線與圓交于兩點,且關于直線

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對稱,動點P在不等式組表示的平面區(qū)域內部及邊界上運動,

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的取值范圍是----------------------------------------------( ▲ )

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A.      B.         C.            D.

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二、填空題:(本大題共有5個小題,每小題4分,共計20分)

11. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積

等于_______▲__________.

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12.展開式中,常數項是_____▲_________.

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13.   ________      .   

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14. 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務,

如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數為

_    ________ .

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15.在圓中有結論:如圖,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過  A,B的切線,P是圓O上任意一點,CD是過P的切線,則有”. 類比到橢圓:“AB是橢圓的長軸, O是橢圓的中心,是橢圓的的焦點,直線AC,BD是橢圓過A,B的切線,P是橢圓上任意一點,CD是過P的切線,則有            .”  

 

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三、解答題(本大題共有6個小題,共計80分)

16.( 本題滿分13分)

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函數的圖像上一個最高點的坐標為,與之相鄰的一個最低點的坐標為.

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 (1)求的表達式;

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(2) 當,求函數的單調遞增區(qū)間和零點.

 

 

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17.( 本題滿分13分)

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如圖,五面體中,.底面是正三角形,.四邊形是矩形,二面角為直二面角.

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(1)上運動,當在何處時,有平面,并且說明理由;

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(2)當平面時,求二面角的余弦值.

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18.( 本題滿分13分)

2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成,分別叫貝貝、晶晶、歡歡、

迎迎、妮妮.現有8個相同的盒子,每個盒子中放一只福娃,每種福娃的數量如下表:

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數量

1

1

1

2

3

從中隨機地選取5只.

(1)求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率;

(2)若完整地選取奧運會吉祥物記10分;若選出的5只中僅差一種記8分;差兩種記6分;以此類推. 設ξ表示所得的分數,求ξ的分布列及數學期望.

 

 

 

 

 

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19.( 本題滿分13分)

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已知雙曲線的兩個焦點為F1,F2,P為動點,若=4.

(1)求動點P的軌跡E的方程;

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(2)求的最小值;

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(3)設點M(-2,0),過點N(,0)作直線交軌跡E于A、B兩點,判斷的大小是否為定值?并證明你的結論.

 

 

 

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20.(本題滿分14分)

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已知函數,

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(1)求函數的定義域;

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(2)求函數的單調區(qū)間;

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(3)當>0時,若存在x使得成立,求的取值范圍.

 

 

 

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21.(本題滿分14分,共3小題,任選其中2題作答,每小題7分)

 

(1) 選修4-2:矩陣與變換

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設矩陣,求矩陣的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.其中 =  ,=

 

(2) 選修4-5:不等式選講

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已知函數

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(1)作出函數的圖像;(2)解不等式

 

(3) 選修4-4:坐標系與參數方程

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求極坐標系中,圓上的點到直線的距離的最小值.

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空題

11. 8 + ; 12. 60;  13.;    14.  14;   15. .

三、解答題

16. 解:(1)依題意的,所以,于是       ……………2分

解得                                             ……………4分

代入,可得,所以,

所以,因為,所以 綜上所述,   …………7分

(2)令,得,又  

函數的零點是                   ……………10分

 

函數的單調遞增區(qū)間是                                ……………13分

17. 解:(1)當中點時,有平面        ………2分

證明:連結,連結∵四邊形是矩形  ∴中點

中點,從而  ……………………………4分

平面,平面平面……………6分

(2)建立空間直角坐標系如圖所示,則,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

為平面的法向量,則有,即,可得平面的一個法向量為,

而平面的一個法向量為                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值為……………13分

18. 解:

19.解:

(1)依題意雙曲線方程可化為=4

點P的軌跡是以為焦點的橢圓,其方程可設為

則所求橢圓方程為,

故動點P的軌跡E的方程為;………………3分

(2)設,則由,可知

當且僅當時等號成立.故的最小值為………………6分

(3)當軸重合時,構不成角AMB,不合題意.

軸時,直線的方程為,代入解得、的坐標分別為   而,∴,猜測為定值.………8分

證明:設直線的方程為,由  ,得

………10分

         

         

為定值。(AB與點M不重合)  ……13分

20.解:

(1)當時,由;當時由

綜上:當時函數的定義域為; 當時函數的定義域為………3分

(2)………5分

時,得,

①當時,,當時,,

故當 時,函數的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為

②當時,,所以,

故當時,上單調遞增.

③當時,若;若,,

故當時,的單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為

綜上:當時,的單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為

時,的單調遞增區(qū)間為;

時,的單調遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為;   …10分

(Ⅲ)因為當時,函數的遞增區(qū)間為;單調遞減區(qū)間為

若存在使得成立,只須,

    ………14分

 

 

 

 

 

 

21.(本題滿分14分,共3小題,任選其中2題作答,每小題7分)

 (1)選修4-2:矩陣與變換

解:由 M=  N= 可得

的特征多項式為

得矩陣的特征值為

再分別求得對應于特征值的特征向量…………7分

(2) 選修4-5:不等式選講

(1)解:依題意可知 ,

則函數的圖像如圖所示:

 

(2)由函數的圖像容易求得原不等式的解集為…………7分

 

(3) 選修4-4:坐標系與參數方程

解:由 則易得易得

圓心到直線的距離為

又圓的半徑為2 , 圓上的點到直線的距離的最小值為…………7分

 

 

 


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