題目列表(包括答案和解析)
在圓中有結(jié)論:如圖,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過(guò)A,B的切線,P是圓
O上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有PO2=PC·PD”.類比到橢圓:“AB是橢圓的長(zhǎng)軸,直線AC,BD是橢圓過(guò)A
,B的切線,P是橢圓上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有______.”
在圓中有結(jié)論:如圖所示,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過(guò)A,B的切線,P是圓O上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有PO2=PC·PD”.類比到橢圓:“AB是橢圓的長(zhǎng)軸,直線AC,BD是橢圓過(guò)A,B的切線,P是橢圓上任意一點(diǎn),CD是過(guò)P的切線,則有__▲__.”
一、選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
A
A
B
B
A
D
二、填空題
11. 8 + ; 12. 60; 13.; 14. 14; 15.
.
三、解答題
16. 解:(1)依題意的,所以
,于是
……………2分
由解得
……………4分
把代入
,可得
,所以
,
所以,因?yàn)?sub>
,所以
綜上所述,
…………7分
(2)令,得
,又
故
函數(shù)
的零點(diǎn)是
……………10分
由
得
函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
……………13分
17. 解:(1)當(dāng)為
中點(diǎn)時(shí),有
平面
………2分
證明:連結(jié)
交
于
,連結(jié)
∵四邊形
是矩形 ∴
為
中點(diǎn)
又為
中點(diǎn),從而
……………………………4分
∵平面
,
平面
∴
平面
……………6分
(2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則
,
,
,
,
……7分
所以,
. ……………………………8分
設(shè)為平面
的法向量,則有
,即
令
,可得平面
的一個(gè)法向量為
,
而平面的一個(gè)法向量為
……………11分
所以所以二面角
的余弦值為
……………13分
18. 解:
19.解:
(1)依題意雙曲線方程可化為則
=4
點(diǎn)P的軌跡是以
為焦點(diǎn)的橢圓,其方程可設(shè)為
由
得
則所求橢圓方程為
,
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為;………………3分
(2)設(shè),
則由
,
可知
在中
又即
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故
的最小值為
………………6分
(3)當(dāng)與
軸重合時(shí),構(gòu)不成角AMB,不合題意.
當(dāng)軸時(shí),直線
的方程為
,代入
解得
、
的坐標(biāo)分別為
、
而
,∴
,猜測(cè)
為定值.………8分
證明:設(shè)直線的方程為
,由
,得
∴ ,
………10分
∴
∴ 為定值。(AB與點(diǎn)M不重合) ……13分
20.解:
(1)當(dāng)時(shí),由
得
;當(dāng)
時(shí)由
得
綜上:當(dāng)時(shí)函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
;
當(dāng)
時(shí)函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
………3分
(2)………5分
令時(shí),得
即
,
①當(dāng)時(shí),
時(shí)
,當(dāng)
時(shí),
,
故當(dāng) 時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間為
,遞減區(qū)間為
②當(dāng)時(shí),
,所以
,
故當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí),若
,
;若
,
,
故當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;單調(diào)遞減區(qū)間為
.
綜上:當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;
當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;單調(diào)遞減區(qū)間為
; …10分
(Ⅲ)因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間為
;單調(diào)遞減區(qū)間為
若存在使得
成立,只須
,
即 ………14分
21.(本題滿分14分,共3小題,任選其中2題作答,每小題7分)
(1)選修4-2:矩陣與變換
解:由 M=
N=
可得
的特征多項(xiàng)式為
令得矩陣
的特征值為
再分別求得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量
…………7分
(2) 選修4-5:不等式選講
(1)解:依題意可知 ,
則函數(shù)的圖像如圖所示:
(2)由函數(shù)的圖像容易求得原不等式的解集為
…………7分
(3) 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:由
即
則易得
由
易得
圓心
到直線的距離為
又圓的半徑為2 ,
圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為
…………7分
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