江浦高級(jí)中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)綜合練習(xí)
說(shuō) 明:
本試卷分第Ⅰ卷(文理必答題)和第Ⅱ卷(理科選答題)兩部分,第Ⅰ卷滿分160分,考試時(shí)間120分鐘。第Ⅱ卷滿分40分,考試時(shí)間30分鐘.
注意事項(xiàng):
答題前,考生務(wù)必將學(xué)校、姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答卷紙的密封線內(nèi),答案寫在答卷紙上對(duì)應(yīng)題目的
答案空格內(nèi),填空題答案不寫在試卷上.考試結(jié)束,將答卷紙收回.
參考公式:
1、用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,.
2、兩個(gè)分類變量與的獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)中
其中
時(shí),有的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”
時(shí),有的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”
時(shí),有的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”
時(shí),沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“與有關(guān)系”
第Ⅰ卷:文理必答題
一、填空題:
1、若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則
2、在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一條漸近線方程為,則它的離心率為
3、平面α外有兩條直線m和n,如果m和n在平面α內(nèi)的射影分別是m'和n',給出下列四個(gè)命題:
(1)m'⊥n'm⊥n; (2)m⊥n m'⊥n'
(3)m'與n'相交m與n相交或重合; (4)m'與n'平行m與n平行或重合.
其中不正確的命題是
4、從[0,1]之間選出兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的平方和小于0.25的概率是
5、已知點(diǎn)A、B、C滿足,,,則的值是_____________.
6、若數(shù)列的前項(xiàng)和,則數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第 項(xiàng).
7、棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,分別是棱,的中點(diǎn),則直線被球截得的線段長(zhǎng)為
8、設(shè)分別是橢圓()的左、右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是
9、在所有的兩位數(shù)中,任取一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率為
10、為了研究失重情況下男女飛行員暈飛船的情況,抽取了89名被試者,他們的暈船情況匯總?cè)缦卤,根?jù)獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)的方法, 認(rèn)為在失重情況下男性比女性更容易暈船(填能或不能)
暈機(jī)
不暈機(jī)
合計(jì)
男性
23
32
55
女性
9
25
34
合計(jì)
32
57
89
11、正三棱錐高為2,側(cè)棱與底面成角,則點(diǎn)A到側(cè)面的距離是
12、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn), 集合
且
13、已知是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,且在內(nèi),關(guān)于
的方程有四個(gè)根,則得取值范圍是
14、已知點(diǎn)(1,0)在直線的兩側(cè),則下列說(shuō)法
(1)
(2)時(shí),有最小值,無(wú)最大值
(3)恒成立
(4),, 則的取值范圍為(-
其中正確的是 (把你認(rèn)為所有正確的命題的序號(hào)都填上)
二、解答題:
15、(1)推導(dǎo)sin3α關(guān)于sinα的表達(dá)式;
(2)求sin18°的值.
16、如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,、分別為、的
中點(diǎn).
(1)求證://平面;
(2)求證:;
(3)求三棱錐的體積.
17、將圓按向量平移得到圓,直線與圓相交于、
兩點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn),使求直線的方程.
18、下表提供了某廠節(jié)油降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
9、已知數(shù)列,中,,且是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 若點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,)(,過(guò)函數(shù)圖像上的點(diǎn) 的切線始終與平行(O 為原點(diǎn)),求證:當(dāng) 時(shí),不等式
對(duì)任意都成立.
20、設(shè)函數(shù),其圖象在點(diǎn)處的切線
的斜率分別為.
(1)求證:;
(2)若函數(shù)的遞增區(qū)間為,求的取值范圍;
(3)若當(dāng)時(shí)(k是與無(wú)關(guān)的常數(shù)),恒有,試求k的最小值.
第Ⅱ卷:理科加試題
1、在一次抗洪搶險(xiǎn)中,準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發(fā)子彈備用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射擊命中率都是.,每次命中與否互相獨(dú)立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望
2、已知二次函數(shù)為常數(shù));.若直線1、2與函數(shù)f(x)的圖象以及1,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(1)求、b、c的值
(2)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式;
請(qǐng)考生在1、2、3、4四題中任選二題作答,如果多做,則按所做的第1、2題記分.
1、選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知是圓的切線,為切點(diǎn),是圓的割線,與圓交于兩點(diǎn),圓心在的內(nèi)部,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)證明四點(diǎn)共圓;
(2)求的大。
2、選修4-2:矩陣與變換
在直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積
這里M= N=
3、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
和的極坐標(biāo)方程分別為.
(1)把和的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過(guò),交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.
4、選修;不等式選講
設(shè)函數(shù).
(1)解不等式; (2)求函數(shù)的最小值.
一、填空題
1、 2、 3、(1)(2)(3)(4) 4、 5、 6、3
7、 8、 9、 10、不能 11、 12、46 13、
14、(3)(4)
二、解答題
15、解:(1)sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α .
(2)∵sin54°=cos36°,
∴3sin18°-4sin318°=1-2sin18°.
令t= sin18°,則上式可變形為3t-4t3=1-2t2,即
(t-1)(4t2+2t-1)=0.
解得 (t= 1與均不合,舍去).
∴sin18°=.
16、證明:(1)連結(jié),在中,、分別為,的中點(diǎn),則
(2)
3)
且
,
∴ 即
=
=
17、解:由已知圓的方程為,
按平移得到.
∵∴.
即.
又,且,∴.∴.
設(shè), 的中點(diǎn)為D.
由,則,又.
∴到的距離等于.
即, ∴.
∴直線的方程為:或.
18、解:(1)如下圖
(2) =32.5+43+54+64.5=66.5
==4.5
==3.5
故線性回歸方程為y=0.7x+0.35
(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè),現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35
故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)
19、解:(1)由
是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列
當(dāng)時(shí),,
所以
(2)由得(作差證明)
綜上所述當(dāng) 時(shí),不等式對(duì)任意都成立.
20.解:(1),由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
, 。1)
, (2)
又,可得,即,故
由(1)得,代入,再由,得
, (3)
將代入(2)得,即方程有實(shí)根.
故其判別式得
,或, (4)
由(3),(4)得;
(2)由的判別式,
知方程有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為,
又由知,為方程()的一個(gè)實(shí)根,則有根與系數(shù)的關(guān)系得
,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故函數(shù)的遞增區(qū)間為,由題設(shè)知,
因此,由(Ⅰ)知得
的取值范圍為;
(3)由,即,即,
因?yàn)?sub>,則,整理得,
設(shè),可以看作是關(guān)于的一次函數(shù),
由題意對(duì)于恒成立,
故 即得或,
由題意,,
故,因此的最小值為.
理科加試題:
1、(1)“油罐被引爆”的事件為事件A,其對(duì)立事件為,則P()=C
∴P(A)=1- 答:油罐被引爆的概率為
(2)射擊次數(shù)ξ的可能取值為2,3,4,5,
P(ξ=2)=, P(ξ=3)=C ,
P(ξ=4)=C, P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
故ξ的分布列為:
Eξ=2×+3×+4×+5×=
2、解:(1)由圖形可知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16
則,
∴函數(shù)f(x)的解析式為
(2)由得
∵0≤t≤2,∴直線l1與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
由定積分的幾何意義知:
選做
1、解:(1)證明:連結(jié).
因?yàn)?sub>與圓相切于點(diǎn),所以.
因?yàn)?sub>是圓的弦的中點(diǎn),所以.
于是.
由圓心在的內(nèi)部,可知四邊形的對(duì)角互補(bǔ),所以四點(diǎn)共圓.
(2)解:由(Ⅰ)得四點(diǎn)共圓,所以.
由(Ⅰ)得.
由圓心在的內(nèi)部,可知.
所以.
2、解:在矩陣N= 的作用下,一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形,在矩陣M= 的作用下,一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線對(duì)稱的圖形。因此
△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等,從而其面積即為1
3、解:以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.
(1),,由得.
所以.
即為的直角坐標(biāo)方程.
同理為的直角坐標(biāo)方程.
(2)由解得.
即,交于點(diǎn)和.過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為.
4、解:
(1)令,則
...............3分
作出函數(shù)的圖象,它與直線的交點(diǎn)為和.
所以的解集為.
(2)由函數(shù)的圖像可知,當(dāng)時(shí),取得最小值.
等于△ABC的面積,
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