重慶市萬州區(qū)2009屆高三第一次診斷性
數(shù) 學(xué)(理科)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷共三個大題,22個小題,滿分150分,考試時間為120分鐘.
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考號填寫在答題卷上.
2.第I卷每小題選出答案后,用筆填寫在答題卷上“第I卷答題欄”對應(yīng)題目的答案欄內(nèi).不能答在試題紙上.
3.第II卷各題一定要做在答題卷限定的區(qū)域內(nèi).
參考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立,那么P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P,那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率
第I卷(選擇題,共50分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把所選答案的番號填在答題卷的相應(yīng)位置上.
1. 已知,那么角是( 。
(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角
(C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角
2. “a =
(A)充要 (B)必要而不充分
(C)充分而不必要 (D)既不充分也不必要
3. 已知集合Z},則=( )
(A){-1,1} (B){0}
(C){-1,0} (D){-1,1,0}
4. 在等比數(shù)列中,、、成等差數(shù)列,則公比等于( )
(A)1或2 (B)或
(C)1或 (D)或2
5.如圖,在長方體ABCD-A1B
(A) (B)
(C) (D)
6.已知是所在平面內(nèi)一點,為邊中點,且,則( 。
(A) (B) (C) (D)
7. 一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6個座位.現(xiàn)讓3個大人和3個小孩入座進餐,要求任何兩個小孩都不能坐在一起,則不同的入座方法總數(shù)為( )
(A)24種 (B)48種 (C)72種 (D)144種
8. 若函數(shù)則對任意的,且,有( )
(A) (B)
(C) (D)
9. 函數(shù)的圖象恒過點A,若點A在直線
上,其中m的最小值為( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
10.定義,設(shè)實數(shù)滿足約束條件,若定義,則的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)把答案填在答題卷的相應(yīng)位置上.
11. 函數(shù)的反函數(shù)的定義域為 .
12.已知直線l1:,l2過點P(? 3,1),且l 1到l 2的角為45,則l2的方程為_______.
13.若, 則
______________.(用數(shù)字作答)
14. 在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會,會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖
為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個
大正方形(如圖). 如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,
直角三角形中較小的銳角為,那么sin2的值等于 .
15. 設(shè)O是坐標(biāo)原點,F(xiàn)是拋物線的焦點,A是拋物線上的一點,與x軸正向的夾角為60°,則為 .
16. 若是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)時,,在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程(且)有4個不同的根,則的取值范圍是 .三、解答題(本大題共6小題,共76分)把解答題答在答題卷限定的區(qū)域內(nèi).解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分13分)
已知集合A=,.
(Ⅰ) 當(dāng)a=2時,求AB;
(Ⅱ) 求使BA的實數(shù)a的取值范圍.
18.(本題滿分13分)
已知向量
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;
(Ⅱ)若的值.
19.(本題滿分13分)
已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),,其中. 設(shè)兩曲線,有公共點,且在該點處的切線相同.
(I)用表示;
(II)求證:().
20.(本題滿分13分)
2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成,分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個相同的盒子,每個盒子中放一只福娃,每種福娃的數(shù)量如下表:
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數(shù)量
1
1
1
2
3
從中隨機地選取5只.
(I)求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率;
(II)若完整地選取奧運會吉祥物記10分;若選出的5只中僅差一種記8分;差兩種記6分;以此類推. 設(shè)ξ表示所得的分數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
21.(本題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ) 求f ?1(x);
(Ⅱ) 若數(shù)列{an}的首項為a1=1,(nÎN+),求{an}的通項公式an;
(Ⅲ) 設(shè)bn=an+12+an+22+¼+a2n+12,是否存在最小的正整數(shù)k,使對于任意nÎN+有bn<成立. 若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
22. (本題滿分12分)
已知點A(-2,0),B(2,0),動點P滿足:,且.
(I)求動點P的軌跡G的方程;
(II)過點B的直線與軌跡G交于兩點M,N.試問在x軸上是否存在定點C ,使得 為常數(shù).若存在,求出點C的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
高2009級第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(理科)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)
1~
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
11. ; 12 . ; 13. 31;
14. ; 15. ; 16.-,0 .
三、解答題(本大題共6小題,共76分)
17.(本題滿分13分)
解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時,A=, …………………………2分
B= …………………………4分
∴ AB= …………………………6分
(Ⅱ)∵(a2+1)-a=(a-)2+>0,即a2+1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①當(dāng)
②當(dāng)
由BA得:2≤a≤3 …………………10分
③當(dāng)
由BA得-1≤a≤- …………………12分
綜上,a的范圍為:[-1,-]∪[2,3] …………………13分
18.(本題滿分13分)
解:(Ⅰ)由………4分
∵
∴的值域為[-1,2] ……………………7分
(Ⅱ)∵
∴
∴ ………………10分
∴………………13分
19. (本題滿分13分)
解:(Ⅰ) ,, ……………………2分
設(shè)與在公共點處的切線相同
由題意,
即 ……………………4分
由得:,或(舍去)
即有 ……………………6分
(Ⅱ)設(shè),……………………7分
則 ……………………9分
x時<0,x>0
∴在為減函數(shù),在為增函數(shù), ……………………11分
于是函數(shù)在上的最小值是:F(a)=f(a)-g(a)=0 ……………………12分
故當(dāng)時,有,
所以,當(dāng)時, ……………………13分
20. (本題滿分13分)
解:(Ⅰ)選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率
………………5分
(Ⅱ) …………………6分
…………10分
ξ的分布列為:
ξ
10
8
6
4
P
…………13分
21.(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵, ∴ …………………………1分
由y=解得: …………………………2分
∴ ………………………3分
(Ⅱ)由題意得: …………………………4分
∴
∴{}是以=1為首項,以4為公差的等差數(shù)列. …………………………6分
∴,∴. ………………………7分
(Ⅲ)∴………8分
則
∴
∴,∴ {bn}是一單調(diào)遞減數(shù)列. ………………………10分
∴,要使,則 ,∴
又kÎN* ,∴k³8 ,∴kmin=8
即存在最小的正整數(shù)k=8,使得 ……………………12分
22.(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)由余弦定理得: ……1分
即16=
==
所以,
即 ……………………………………………4分
(當(dāng)動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結(jié)論)
所以動點P的軌跡為以A,B為焦點,實軸長為的雙曲線
所以,軌跡G的方程為 …………………………………………6分
(Ⅱ)假設(shè)存在定點C(m,0),使為常數(shù).
①當(dāng)直線l不與x軸垂直時,設(shè)直線l的方程為
…………………………………………7分
由題意知,
設(shè),則, …………………8分
于是
∴
= ………………9分
=
要是使得 為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),此時 ………………11分
②當(dāng)直線l與x軸垂直時,,當(dāng)時.
故,在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數(shù). …………………………12分
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