2009年南京市江寧高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(含附加題)
數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)(或題組號(hào))對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效.
5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.
參考公式:如果事件互斥,那么.
A.必做題部分
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.
1. 設(shè)集合,,則 ▲ .
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足z2+1=0,則(z6+i)(z6-i)= ▲ .
3. 在總體中抽取了一個(gè)樣本,為了便于統(tǒng)計(jì),將樣本中的每個(gè)數(shù)據(jù)乘以100后進(jìn)行分析,得出新樣本平均數(shù)為3,則估計(jì)總體的平均數(shù)為 ▲ .
說明:本題關(guān)注一下:
4. 冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則滿足=27的x的值是 ▲ .
5. 下列四個(gè)命題:
①; ②;
③;④.
其中真命題的序號(hào)是 ▲ .
說明:請(qǐng)注意有關(guān)常用邏輯用語中的一些特殊符號(hào).如果題中的集合R改成Z,真命題的序號(hào)是①④,如果R改成復(fù)數(shù)集C呢?
ICME-7 = ▲ . 說明:本題是課本中的習(xí)題改編,重在建立觀察、歸納意識(shí). 7. 以下偽代碼: Read x If x≤
0 Then ← 4x Else ← End If Print 根據(jù)以上算法,可求得的值為
▲ . 8. 在半徑為1的圓周上按順序均勻分布著A1,A2,A3,A4,A5,A6六個(gè)點(diǎn).則 =
▲ . 說明:此學(xué)生容易把兩向量的夾角弄錯(cuò).如改成12個(gè)點(diǎn),邊長(zhǎng)的求法就不一樣了,難度會(huì)加大. 9. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,都有.記 ,則 ▲ . 說明:注意對(duì)稱性. 10.已知函數(shù)f(x)=loga|
x |在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2) ▲ f(a+1).(填寫“<”,“=”,“>”之一) 說明:注意函數(shù)y=f(| x
|)是偶函數(shù).比較f(-2)與f(a+1)的大小只要比較-2、 a+1與y軸的距離的大。 11.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),交準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若, 則直線AB的斜率為 ▲ . 說明:涉及拋物線的焦點(diǎn)弦的時(shí)候,常用應(yīng)用拋物線的定義.注意本題有兩解. 12.有一根長(zhǎng)為6cm,底面半徑為0.5cm的圓柱型鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈,并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的長(zhǎng)度最少為
▲ cm. 說明:本題是由課本例題改編的.關(guān)鍵是要把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 13.若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部,則a的取值范圍是 ▲ . 說明:線性規(guī)劃要注意數(shù)形結(jié)合,要綜合運(yùn)用多方面的知識(shí).特別要注意區(qū)域的邊界. 14.已知△ABC三邊a,b,c的長(zhǎng)都是整數(shù),且,如果b=m(mN*),則這樣的三角形共有 ▲ 個(gè)(用m表示). 說明:本題是推理和證明這一章的習(xí)題,考查合情推理能力.講評(píng)時(shí)可改為c=m再探究.本題也可以用線性規(guī)劃知識(shí)求解. 填空題答案: 1. 2.2
3.0.03
4. 5.④ 6. 7.-8 8.3 9.-1 10.< 11. 12.
13. 14. 二、解答題:本大題共6小題,共90分,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分14分) 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且. (Ⅰ)求角A; (Ⅱ)若m,n,試求|mn|的最小值. 解:(Ⅰ),……………………………………………3分 即, ∴,∴. ………………………………………………5分 ∵,∴.………………………………………………………………7分 (Ⅱ)mn , |mn|.…………10分 ∵,∴,∴. 從而.……………………………………………………………12分 ∴當(dāng)=1,即時(shí),|mn|取得最小值.……………………13分 所以,|mn|.………………………………………………………………14分 評(píng)講建議: 16.(本小題滿分14分) 直棱柱中,底面ABCD是直角梯形, ∠BAD=∠ADC=90°,. (Ⅰ)求證:AC⊥平面BB1C1C; (Ⅱ)在A1B1上是否存一點(diǎn)P,使得DP與平面BCB1與 平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論. 證明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分 又∠BAD=∠ADC=90°,, ∴,∠CAB=45°,∴, BC⊥AC.………………………………5分 又,平面BB1C1C, AC⊥平面BB1C1C. ………………7分 (Ⅱ)存在點(diǎn)P,P為A1B1的中點(diǎn). ……………………………………………………………8分 證明:由P為A1B1的中點(diǎn),有PB1‖AB,且PB1=AB.……………………………………9分 又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1, ∴DC
PB1為平行四邊形,從而CB1∥DP.……………………………………………11分 又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1.………………………………13分 同理,DP‖面BCB1.……………………………………………………………………14分 評(píng)講建議: 本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識(shí),第一小題要引導(dǎo)學(xué)生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小題,要求學(xué)生熟練掌握一個(gè)常用結(jié)論:若一直線與兩相交平面相交,則這條直線一定與這兩平面的交線平行;同時(shí)注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性,這里只需要指出結(jié)論并驗(yàn)證其充分性即可,當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論,再證明之,這事實(shí)上證明了結(jié)論是充分且必要的. 變題: 求證:(1)A1B⊥B1D;(2)試在棱AB上確定一點(diǎn)E,使A1E∥平面ACD1,并說明理由. 17.(本小題滿分15分) 口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,甲、乙兩人玩一種游戲: 甲先摸出一個(gè)球,記下編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號(hào),如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏, 否則算乙贏. (Ⅰ)求甲贏且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率; (Ⅱ)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由. 解:(I)設(shè)“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A,事件A包含的基本事件為 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5個(gè).……………………2分 又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5=25(個(gè))等可能的結(jié)果, ……………………4分 所以. ………………………………………………………………………6分 答:編號(hào)的和為6的概率為.…………………………………………………………………7分 (Ⅱ)這種游戲規(guī)則不公平.……………………………………………………………………9分 設(shè)“甲勝”為事件B,“乙勝”為事件C, ……………………………………………10分 則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個(gè): (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2) ,(4,4),(5,1) ,(5,3),(5,5). 所以甲勝的概率P(B)=,從而乙勝的概率P(C)=1-=.…………14分 由于P(B)≠P(C),所以這種游戲規(guī)則不公平. ………………………………15分 評(píng)講建議: 本題主要考查古典概率的計(jì)算及其相關(guān)知識(shí),要求學(xué)生列舉全面,書寫規(guī)范.尤其注意此類問題的答題格式:設(shè)事件、說明概型、計(jì)算各基本事件種數(shù)、求值、作答. 引申:連續(xù)玩此游戲三次,若以D表示甲至少贏一次的事件,E表示乙至少贏兩次的事件,試問D與E是否為互斥事件?為什么?(D與E不是互斥事件.因?yàn)槭录﨑與E可以同時(shí)發(fā)生,如甲贏一次,乙贏兩次的事件即符合題意;亦可分別求P(D)、P(E),由P(D)+ P(E)>1可得兩者一互斥.) 18.(本小題滿分15分) 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B.過F、B、 C作⊙P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n). (Ⅰ)當(dāng)m+n>0時(shí),求橢圓離心率的范圍; (Ⅱ)直線AB與⊙P能否相切?證明你的結(jié)論. 解:(Ⅰ)設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(-c,0),(0,b),(1,0),則FC、BC的中垂線分別為 ,.………………………………………………………………2分 聯(lián)立方程組,解出……………………………………………………………4分 ,即,即(1+b)(b-c)>0, ∴ b>c. ……………………………………………………………………………………6分 從而即有,∴.……………………………………………………7分 又,∴. …………………………………………………………………8分 (Ⅱ)直線AB與⊙P不能相切.…………………………………………………………………9分 由,=. ………………………………………………10分 如果直線AB與⊙P相切,則?=-1. ………………………………………12分 解出c=0或2,與0<c<1矛盾,………………………………………………………14分 所以直線AB與⊙P不能相切. …………………………………………………………15分 評(píng)講建議: 此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí),要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn),從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo),構(gòu)造關(guān)于橢圓中a,b,c的齊次等式得離心率的范圍.第二小題亦可以用平幾的知識(shí):圓的切割線定理,假設(shè)直線AB與⊙P相切,則有AB2=AF×AC,易由橢圓中a,b,c的關(guān)系推出矛盾. 19.(本小題滿分16分) 已知函數(shù)(a>0,且a≠1),其中為常數(shù).如果 是增函數(shù),且存在零點(diǎn)(為的導(dǎo)函數(shù)). (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函數(shù)y=g(x)的圖象上兩點(diǎn),( 為的導(dǎo)函數(shù)),證明:. 解:(Ⅰ)因?yàn)椋?/p> 所以. …………………………………………3分 因?yàn)閔(x)在區(qū)間上是增函數(shù), 所以在區(qū)間上恒成立. 若0<a<1,則lna<0,于是恒成立. 又存在正零點(diǎn),故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1與lna<0矛盾. 所以a>1. 由恒成立,又存在正零點(diǎn),故△=(-2lna)2-4lna=0, 所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………………………9分 以下證明. (※) (※)等價(jià)于. ……………………………………………11分 令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,…………………………………………………………13分 r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上為增函數(shù). 當(dāng)x1<x2時(shí),r(x1)< r(x2)=0,即, 從而得到證明.……………………………………………………………………15分 對(duì)于同理可證……………………………………………………………16分 所以. 評(píng)講建議: 此題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí).評(píng)講時(shí)注意著重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.本題的第一小題是常規(guī)題比較容易,第二小題是以數(shù)學(xué)分析中的中值定理為背景,作輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì),是近幾年高考的熱點(diǎn).第二小題還可以這樣證明: 要證明,只要證明>1,令,作函數(shù)h(x)=t-1-lnt,下略. 20.(本小題滿分16分) 已知數(shù)列中,,且對(duì)時(shí),有. (Ⅰ)設(shè)數(shù)列滿足,證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. (Ⅰ) 證明:由條件,得, 則.……………………………………2分 即,所以,. 所以是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列. …………………………………4分 ,所以. 兩邊同除以,可得.…………………………………………………6分 于是為以首項(xiàng),-為公差的等差數(shù)列. 所以.………………………………………………8分 (Ⅱ),令,則. 而. ∴. ……………………………………………………………12分 , ∴.………………14分 令Tn=, ① 則2Tn=. ② ①-②,得Tn=,Tn=. ∴.……………………………………………………………16分 評(píng)講建議: 此題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)求法、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,作新數(shù)列法,錯(cuò)項(xiàng)相消法,裂項(xiàng)法等知識(shí)與方法,同時(shí)考查學(xué)生的分析問題與解決問題的能力,邏輯推理能力及運(yùn)算能力.講評(píng)時(shí)著重在正確審題,怎樣將復(fù)雜的問題化成簡(jiǎn)單的問題,本題主要將一個(gè)綜合的問題分解成幾個(gè)常見的簡(jiǎn)單問題.事實(shí)上本題包含了好幾個(gè)常見的數(shù)列題.本題還有一些另外的解法,如第一問的證明還可以直接代. B.附加題部分 一、選做題:本大題共4小題,請(qǐng)從這4題中選做2小題,如果多做,則按所做的前兩題記分.每小題10分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 1.
選修4-1:幾何證明選講 的延長(zhǎng)線于E點(diǎn). 求證:. 證明:連結(jié)AC.…………………………………………………1分 因?yàn)镋A切于A, 所以∠EAB=∠ACB.…………3分 于是∠EAB=∠ACD.…………………………………5分 又四邊形ABCD內(nèi)接于,所以∠ABE=∠D. 所以∽. 于是,即.………………9分 所以.…………………………………10分 2.
選修4-2:矩陣與變換 形,其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(3,2),C(3,-2), D(-1,-2),(3,7),(3,3).求將四邊形ABCD變成 四邊形的變換矩陣M. 解:該變換為切變變換,設(shè)矩陣M為,…………………3分 則.………………………………………………6分 ∴,解得.…………………………………………………………………9分 所以,M為.………………………………………………………………………10分 說明:掌握幾種常見的平面變換. 3.
選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 過點(diǎn)P(-3,0)且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點(diǎn).求線段AB的長(zhǎng). 解:直線的參數(shù)方程為,………………………………………………3分 曲線可以化為.……………………………………………5分 將直線的參數(shù)方程代入上式,得. 設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,∴.…………………………8分 AB=.…………………………………………………10分 說明:掌握直線,圓,圓錐曲線的參數(shù)方程及簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 4.
選修4-5:不等式選講 已知x,y,z均為正數(shù).求證: 證明:因?yàn)閤,y,z無為正數(shù).所以, ………………………………4分 同理可得,………………………………………………………7分 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí),以上三式等號(hào)都成立. 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得.…………10分 二、必做題:本大題共2小題,每小題10分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 5.已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列. (Ⅰ)求n的值; (Ⅱ)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng). 解:(Ⅰ)由題設(shè),得 , ………………………………………………3分 即,解得n=8,n=1(舍去).……………………………………………4分 (Ⅱ)設(shè)第r+1的系數(shù)最大,則……………………………………………6分 即 解得r=2或r=3. ………………………………………………8分 所以系數(shù)最大的項(xiàng)為,.………………………………………………10分 說明:掌握二項(xiàng)式定理,展開式的通項(xiàng)及其常見的應(yīng)用. 6. 動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線l:y=3之間的區(qū)域(含邊界)上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,1)和直線l的距離之和為4. (Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡C的方程; (Ⅱ)過點(diǎn)Q(0,-1)作曲線C的切線,求所作的切線與曲線C所圍成的區(qū)域的面積. 解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),根據(jù)題意,得.……………………………3分 化簡(jiǎn),得.…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)設(shè)過Q的直線方程為,代入拋物線方程,整理,得. ∴△=.解得.………………………………………………………6分 所求切線方程為(也可以用導(dǎo)數(shù)求得切線方程), 此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),(-2,1),且切點(diǎn)在曲線C上. ………………………8分 由對(duì)稱性知所求的區(qū)域的面積為 .…………………………………………10分 說明:拋物線在附加題中的要求提高了,定積分要求不高. 附加題部分說明: 本次附加題考查內(nèi)容盡量回避一模所考內(nèi)容,沒有考查概率分布和空間向量解立體幾何問題.這兩部分內(nèi)容很重要,希望在后期的復(fù)習(xí)中不可忽視. 百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
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