2009年高考數(shù)學總復習解題思維專題講座之二

   數(shù)學思維的反思性

一、概述

數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解,精細地檢查思維過程,不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設,獲得獨特的解決問題的方法,它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關。本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練,培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓練實例

    例1  已知,若的范圍。

錯誤解法  由條件得

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②×2-①得                                                    

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①×2-②得                                                 

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+得 

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錯誤分析  采用這種解法,忽視了這樣一個事實:作為滿足條件的函數(shù),其值是同時受制約的。當取最大(小)值時,不一定取最大(。┲,因而整個解題思路是錯誤的。

正確解法  由題意有

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解得:

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的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯誤,并給出正確解法,就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識,才能反思性地看問題。

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例2     證明勾股定理:已知在中,,求證

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錯誤證法  在中,,

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,即

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錯誤分析  在現(xiàn)行的中學體系中,這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結論,作為推理的前提條件,叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產生的,而且不易發(fā)覺。因此,在學習中對所學的每個公式、法則、定理,既要熟悉它們的內容,又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤,正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

(2)  驗算的訓練

驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算,可以檢查解題過程的正確性,增強思維的反思性。

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例3   已知數(shù)列的前項和,求

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錯誤解法 

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錯誤分析  顯然,當時,,錯誤原因,沒有注意公式成立的條件是因此在運用時,必須檢驗時的情形。即:

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例4   實數(shù)為何值時,圓與拋物線有兩個公共點。

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錯誤解法  將圓與拋物線 聯(lián)立,消去

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得                                        ①

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因為有兩個公共點,所以方程①有兩個相等正根,得  

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 解之,得

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錯誤分析  (如圖2-2-1;2-2-2)顯然,當時,圓與拋物線有兩個公共點。

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要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根;或有兩個相等正根。

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當方程①有一正根、一負根時,得解之,得

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因此,當時,圓與拋物線*有兩個公共點。

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思考題:實數(shù)為何值時,圓與拋物線,

(1)    有一個公共點;

(2)    有三個公共點;

(3)    有四個公共點;

(4)    沒有公共點。

養(yǎng)成驗算的習慣,可以有效地增強思維反思性。如:在解無理方程、無理不等式;對數(shù)方程、對數(shù)不等式時,由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化,這樣就有可能產生增根或失根,因此必須進行檢驗,舍棄增根,找回失根。

(3)  獨立思考,敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響,解題時盲目附和,不能提出自己的看法,這不利于增強思維的反思性。因此,在解決問題時,應積極地獨立思考,敢于對題目解法發(fā)表自己的見解,這樣才能增強思維的反思性,從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例5   30支足球隊進行淘汰賽,決出一個冠軍,問需要安排多少場比賽?

解  因為每場要淘汰1個隊,30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍。因此應安排29場比賽。

思 路 分 析  傳統(tǒng)的思維方法是:30支隊比賽,每次出兩支隊,應有15+7+4+2+1=29場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和,考慮到每場比賽淘汰1個隊,要淘汰29支隊,那么必有29場比賽。

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例6   解方程

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考察方程兩端相應的函數(shù),它們的圖象無交點。

所以此方程無解。

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例7  設是方程的兩個實根,則的最小值是(     )

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思路分析  本例只有一個答案正確,設了3個陷阱,很容易上當。

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利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得:

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有的學生一看到,常受選擇答案(A)的誘惑,盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別,就能從中選出正確答案。

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原方程有兩個實根

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時,的最小值是8;當時,的最小值是18;

這時就可以作出正確選擇,只有(B)正確。

 

 

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