Question

5．如圖所示，真空室內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)狀的α粒子放射源P，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子（不計(jì)重力），速率都相同．a(chǎn)b為P點(diǎn)附近的一條水平直線（P到直線ab的距離PC=L），Q為直線ab上一點(diǎn)，它與P點(diǎn)相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L（現(xiàn)只研究與放射源P和直線ab同一個(gè)平面內(nèi)的α粒子的運(yùn)動(dòng)），當(dāng)真空室內(nèi)（直線ab以上區(qū)域）只存在垂直該平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，水平向左射出的α粒子恰到達(dá)Q點(diǎn)．（α粒子的電荷量為+q，質(zhì)量為m；sin37°=0.6；cos37°=0.8）求：
（1）α粒子的發(fā)射速率；
（2）能到達(dá)直線ab的α粒子所用最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值．
（3）求能打到ab直線上的粒子占總發(fā)射粒子的幾分之幾？

Answer 1

分析 （1）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，α粒子由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出α粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出α粒子的發(fā)射速率；
（2）根據(jù)幾何知識(shí)確定出軌跡圓心角的最大值與最小值，因?yàn)橹芷赥相同，所以圓心角之比即為時(shí)間的比值；
（3）找出能打中直線ab的粒子的臨界條件，即軌跡與ab左右有兩個(gè)相切的情況，找出相應(yīng)能打中ab的初速度之間的夾角θ，根據(jù)粒子數(shù)之比等于發(fā)射速度的角度范圍之比，即可求出能打到ab直線上的粒子占總發(fā)射粒子的幾分之幾．

解答 解：（1）設(shè)α粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，過(guò)O作PQ的垂線交PQ于A點(diǎn)，如圖所示，

由幾何知識(shí)可得：$\frac{{\overline{PC}}}{{\overline{PQ}}}=\frac{{\overline{QA}}}{{\overline{QO}}}$
代入數(shù)據(jù)可得α粒子軌跡半徑：$R=\overline{QO}=\frac{5L}{8}$
洛侖磁力提供向心力：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得α粒子發(fā)射速度為：$v=\frac{5BqL}{8m}$
（2）真空室只加磁場(chǎng)時(shí)，圓弧O₁和直線ab相切于D點(diǎn)，α粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示．

則：$sinβ=\frac{L-R}{R}$=$\frac{3}{5}$
則有β=37°
最大圓心角：γ_max=360°-90°-37°=233°
最長(zhǎng)時(shí)間：${t_1}=\frac{{{γ_{max}}}}{360°}T$
圓弧O₂經(jīng)C點(diǎn)，α粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
則：$sinθ=\frac{L/2}{R}$=$\frac{4}{5}$  
則有θ=53°
最小圓心角：γ_min=2θ=106°
最短時(shí)間：${t_2}=\frac{{{γ_{min}}}}{360°}T$
則最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值為：$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{{γ_{max}}}}{{{γ_{min}}}}=\frac{233}{106}$
（3）p點(diǎn)發(fā)射的粒子有兩軌跡與ab線相切，初速度介于兩速度之間的粒子都可以打在ab上，求出此時(shí)兩速度之間的夾角θ，

該角度內(nèi)的粒子均可打到ab線上：θ=2（90°-37°）=106°
能打到線上的粒子數(shù)占總數(shù)的n=$\frac{106}{360}$=$\frac{53}{180}$
答：（1）α粒子的發(fā)射速率為$\frac{5BqL}{8m}$；
（2）能到達(dá)直線ab的α粒子所用最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值為$\frac{233}{106}$；
（3）能打到ab直線上的粒子占總發(fā)射粒子的$\frac{53}{180}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫出粒子軌跡過(guò)程圖，確定圓心，找到幾何條件；第二問(wèn)關(guān)鍵是要找到臨界情況，時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大，時(shí)間最短時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最��；第三問(wèn)把粒子數(shù)之比簡(jiǎn)化為求解發(fā)射速度的角度范圍之比．