Question

19．“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢想邁出了重要的一步．已知“嫦娥一號(hào)”繞月飛行軌道近似圓周，距月球表面高度為H，飛行周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G，試求：
（1）月球的質(zhì)量M
（2）月球表面的重力加速度g₀．

Answer 1

分析 “嫦娥一號(hào)”圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)過程中，月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”的萬有引和提供“嫦娥一號(hào)”的向心力，由此列式可以求出月球的質(zhì)量M；在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．

解答 解：（1）由題意，嫦娥一號(hào)由萬有引力提供向心力，設(shè)嫦娥一號(hào)的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，因?yàn)檐壍栏叨葹镠，則軌道半徑r=R+H，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=R+H，
得月球的質(zhì)量：
$M=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球表面的重力和萬有引力相等，即有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：${g}_{0}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．（2）月球表面的重力加速度$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評 能正確根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由萬有引力提供和量球表面的重力和萬有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問題．