Question

17．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)傾角為θ=37°、左端高度h₁=0.9m的直軌道AB，與傾角相同的足夠長(zhǎng)的直軌道BC順滑連接（在B處有一小段光滑圓弧）．其左端有一高度H₀=0.972m的平臺(tái)，現(xiàn)將一小物塊（可看做質(zhì)點(diǎn)）由平臺(tái)右端以初速度v0水平拋出，恰好從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入軌道，沿軌道AB滑下，并滑上軌道BC，所能達(dá)到的最大高度h₂=0.60m．若物塊與兩軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，不計(jì)空氣阻力及連接處的能量損失，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求
（1）物塊的初速度v₀；
（2）物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）物塊從平臺(tái)右端拋出后，經(jīng)時(shí)間t=1.62s運(yùn)動(dòng)到BC軌道上的P點(diǎn)（P點(diǎn)未標(biāo)出），求P、B間的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出落在A時(shí)的豎直分速度，然后應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)與勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出物塊的初速度．
（2）對(duì)從拋出點(diǎn)開(kāi)始到滑上BC的最高點(diǎn)為研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理，求出物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）由牛頓第二定律求出物塊在斜面上的加速度，然后求出物塊滑到B的時(shí)間；由牛頓第二定律求出物塊在斜面BC上的加速度，最后由位移公式求出位移，從而求出P、B間的距離．

解答 解：（1）物體的初速為v₀，A點(diǎn)速度為v，豎直速度為v₁，物塊在A點(diǎn)速度恰好沿切線方向，則v與水平線的夾角為θ=37°
由平拋運(yùn)動(dòng)，則：y=$\frac{1}{2}$gt₁²，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2△h}{g}}=\sqrt{\frac{2×（0.972-0.9）}{10}}s=0.12$s，
對(duì)B點(diǎn)速度v做垂直和水平方向分解，有：v₁=gt₁=10×0.12=1.2m/s，
且tan37°=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$
所以：${v}_{0}=\frac{{v}_{1}}{tan37°}=\frac{1.2}{0.75}m/s=1.6$m/s
（2）對(duì)物塊從拋出點(diǎn)到第一次速度為零的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
${W}_{G}-μmgcosθ（\frac{{h}_{1}}{sinθ}+\frac{{h}_{2}}{sinθ}）=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
化簡(jiǎn)并代入數(shù)據(jù)可得：μ=0.25
（3）滑塊在A點(diǎn)速度為v，則$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{1}^{2}}=\sqrt{1．{6}^{2}+1．{2}^{2}}m/s=2$m/s
滑塊在斜面AB上受到重力、支持力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律得：
ma₁=mgsinθ-μmgcosθ
所以：${a}_{1}=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ$=10×sin37°-0.25×10×cos37°=4m/s²
滑塊滑到B時(shí)的速度：${v}_{B}^{2}-{v}^{2}=2{a}_{1}•\frac{{h}_{1}}{sinθ}$
代入數(shù)據(jù)得：v_B=4m/s
A到B的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{v}_{B}-v}{{a}_{1}}=\frac{4-2}{4}s=0.5$s
滑塊在斜面BC上受到重力、支持力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律得：
ma₂=mgsinθ+μmgcosθ
所以：${a}_{2}=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$=10×sin37°+0.25×10×cos37°=8m/s²
滑塊滑到最高點(diǎn)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{B}}{-{a}_{2}}=\frac{0-4}{-8}s=0.5$s
剩下的時(shí)間：t₄=t-t₁-t₂-t₃=1.62-0.12-0.5-0.5=0.5s
所以滑塊將從最高點(diǎn)向下滑動(dòng)，滑動(dòng)時(shí)的加速度a₃：${a}_{3}=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ$=4m/s²
滑塊向下滑動(dòng)的距離：$x=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{4}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{5}^{2}=0.5$m
所以P到B之間的距離為：$s=\frac{{h}_{2}}{sin37°}-x=\frac{0.6}{0.6}m-0.5m=0.5$m
答：（1）物塊的初速度是1.6m/s；
（2）物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.25；
（3）物塊從平臺(tái)右端拋出后，經(jīng)時(shí)間t=1.62s運(yùn)動(dòng)到BC軌道上的P點(diǎn)（P點(diǎn)未標(biāo)出），P、B間的距離是0.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理的運(yùn)用、平拋運(yùn)動(dòng)以及牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用能力，關(guān)鍵選取適當(dāng)?shù)难芯窟^(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理以及牛頓第二定律列表達(dá)式進(jìn)行求解．