已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點A，△AF₁F₂為正三角形，以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y═

3

x-4相切．

（1）求橢圓C的方程和離心率．

（2）若點P為焦點F₁關(guān)于直線x=-

5

2

的對稱點，動點M滿足

|MF1|

|MF2|

=e，問是否存在一定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值，若不存在，請說明理由．

設(shè)拋物線y=x²+m過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，且和橢圓有三個交點，以這三個交點為頂點的三角形面積為1，求a、b、m的值．

已知某年級1000名學(xué)生的百米跑成績?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，為了了解學(xué)生的百米跑成績情況，隨機抽取了若干學(xué)生的百米跑成績，并按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為1：4：10，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）請估計該年級學(xué)生中百米跑成績在[16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機抽取了多少個學(xué)生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一和第五組所有成績中隨機取出2個，求這2個成績差的絕對值大于1秒的概率．

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，求：
（Ⅰ）f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1）上的值域．

已知橢圓C兩焦點坐標分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且經(jīng)過點P(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，-1），直線l與橢圓C交于兩點M，N．若△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線l的方程．

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b 有兩個不同的交點，求b的取值范圍．

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c與y=x交于A，B兩點且|AB|=3

2

，奇函數(shù)g(x)=

x2+c

x+d

，當(dāng)x＞0時，f（x）與g（x）都在x=x₀取到最小值．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若y=x與y=k+

1 2 f′(x)

圖象恰有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍．

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

m2

-

y2

3-m2

=1(0＜m2＜3)有公共的焦點，過橢圓E的右頂點作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線y²=2x于M、N兩點，且OM⊥ON．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點，點P關(guān)于原點O的對稱點為A、關(guān)于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸相交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
橢圓上的點P滿足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面積S△PF1F2=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x=-1平分？若存在，求出l的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+1，求函數(shù)y=f[f（x）]的值域．