Question

已知橢圓C兩焦點坐標分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且經(jīng)過點P(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，-1），直線l與橢圓C交于兩點M，N．若△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，根據(jù)橢圓F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，求出c，從而可求b，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)|AM|=|AN|，線段MN中點為Q，所以AQ⊥MN，分類討論，利用△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)．
依題意2a=|PF1|+|PF2|=

12+ 1 4

+

1 4

=4，所以a=2．
又c=

3

，所以b²=a²-c²=1．
于是橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．                …（5分）
（Ⅱ）依題意，顯然直線l斜率存在．設直線l的方程為y=kx+m，則
由

x2 4 +y2=1  y=kx+m

得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
因為△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，得4k²-m²+1＞0．  …①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點為Q（x₀，y₀），則

x1+x2=- 8km 4k2+1 x1x2= 4m2-4 4k2+1

于是x0=-

4km

4k2+1

，  y0=kx0+m=

m

4k2+1

．
因為|AM|=|AN|，線段MN中點為Q，所以AQ⊥MN．
（1）當x₀≠0，即k≠0且m≠0時，

y0+1

x0

k=-1，整理得3m=4k²+1．      …②
因為AM⊥AN，

AM

=(x1，y1+1)，

AN

=(x2，y2+1)，
所以

AM

•

AN

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=(1+k2)x1x2+k(m+1)(x1+x2)+m2+2m+1=(1+k2)

4m2-4

4k2+1

+k(m+1)(-

8km

4k2+1

)+m2+2m+1=0，
整理得5m²+2m-3=0，解得m=

3

5

或m=-1．
當m=-1時，由②不合題意舍去．
由①②知，m=

3

5

時，k=±

5

5

．
（2）當x₀=0時，
（�。┤鬹=0時，直線l的方程為y=m，代入橢圓方程中得x=±2

1-m2

．
設M(-2

1-m2

，m)，N(2

1-m2

，m)，依題意，若△AMN為等腰直角三角形，則AQ=QN．
即2

1-m2

=|1+m|，解得m=-1或m=

3

5

．m=-1不合題意舍去，
即此時直線l的方程為y=

3

5

．
（ⅱ）若k≠0且m=0時，即直線l過原點．
依橢圓的對稱性有Q（0，0），則依題意不能有AQ⊥MN，即此時不滿足△AMN為等腰直角三角形．
綜上，直線l的方程為y=

3

5

或

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力．