Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

m2

-

y2

3-m2

=1(0＜m2＜3)有公共的焦點，過橢圓E的右頂點作任意直線l，設直線l交拋物線y²=2x于M、N兩點，且OM⊥ON．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P是橢圓E上第一象限內的點，點P關于原點O的對稱點為A、關于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸相交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設直線l：ty=x-a，代入y²=2x，并整理，利用韋達定理，結合OM⊥ON，即可求橢圓E的方程；
（2）PA⊥PB，設P（x₀，y₀），將直線AD的方程y=

y0

4x0

(x+x0)-y0代入橢圓的方程，并整理，求出B的坐標，證明k_PA•k_PB=-1，即可得到結論．

解答： 解：（1）設點M（x₁，y₁），N(x2，

y

2

)．
設直線l：ty=x-a，代入y²=2x，并整理得y²-2ty-2a=0，
所以

y1+y2=2t y1•y2=-2a

 …（2分）
故有

OM

•

ON

=x1•x2+y1•y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1•y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2
=（t²+1）（-2a）+at²+a²=a²-2a，解得a=2…（5分）
又橢圓與雙曲線有公共的焦點，故有c=

3

，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（7分）
（2）PA⊥PB．
證明：設P（x₀，y₀），則A（-x₀，-y₀），D(x0，-

1

2

y0)且x02+4

y

2 0

=4
將直線AD的方程y=

y0

4x0

(x+x0)-y0代入橢圓的方程，
并整理得(4x02+y02)x2-6x0

y

2 0

+9

x

2 0

y

2 0

-16

x

2 0

=0…（9分）
由題意，可知此方程必有一根-x₀，
xB=

6x0 y 2 0

4 x 2 0 + y 2 0

+x0，yB=

y0

4x0

(

6x0 y 2 0

4 x 2 0 + y 2 0

+2x0)-y0=

y 3 0 -2 x 2 0 y0

4 x 2 0 + y 2 0

，
所以kPB=

y 3 0 -2 x 2 0 y0 4 x 2 0 + y 2 0 -y0

6x0 y 2 0 4 x 2 0 + y 2 0

=

-6 x 2 0 y0

6x0 y 2 0

=-

x0

y0

…（12分）
故有k_PA•k_PB=-1，即PA⊥PB…（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．