Question

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b 有兩個不同的交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求導后判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，則f′（a）=0，b=f（a），進而可得a與b的值；
（3）當b≤1時，曲線y=f（x）與直線y=b最多只有一個交點；若曲線y=f（x）與直線y=b 有兩個不同的交點，則b＞1．

解答： 解：（1）由f（x）=x²+xsinx+cosx，
得f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）．…（1分）
令f′（x）=0，得x=0．…（2分）
列表如下：
  …（4分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（0）=1是f（x）的最小值．…（5分）
（2）∵曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，b=f（a），…（7分）
解得a=0，b=f（0）=1．…（9分）
（3）當b≤1時，曲線y=f（x）與直線y=b最多只有一個交點；
當b＞1時，f（-2b）=f（2b）≥4b²-2b-1＞4b-2b-1＞b，f（0）=1＜b，
∴存在x₁∈（-2b，0），x₂∈（0，2b），使得f（x₁）=f（x₂）=b．…（12分）
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上均單調(diào)，
∴當b＞1時曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同交點．…（13分）
綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同交點，那么b取值范圍是（1，+∞）．…（14分）

點評：本題考查的知識點是導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，導數(shù)法研究曲線的切線，是導數(shù)較為綜合的應(yīng)用，難度中檔．