設(shè)同時滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）若等比數(shù)列{a_n}為2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”，求公比q；
（Ⅱ）記n階“期待數(shù)列”{a_i}的前k項和為S_k（k=1，2，3，…，n）．
（1）求證：|S_k|≤

1

2

；
（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}，使得S_m=

1

2

．試問：數(shù)列{S_i}（i=1，2，3，…，n）能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；否則，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變得到函數(shù)h（x）的圖象，再將h（x）的圖象向右平衡移

π

3

個單位得到g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式，并求g（x）在[0，π]上的值域．

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+

10

3

．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）討論方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的個數(shù)；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m，使得對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₂）成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

判斷函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

已知函數(shù)f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的值域．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=t，且a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)b_n=log₃a_n+1，數(shù)列{

bn

an

}的前n項和T_n，證明T_n＜

9

4

．

已知直線l的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，圓C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數(shù)）
（Ⅰ）判斷直線l圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）若橢圓的參數(shù)方程為

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ為參數(shù)），過圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于兩點A、B，求|CA|•|CB|．

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-e²x．
（1）若曲線在點（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（0，1）時，總有f（x）＞xe^x-e²x+1，求實數(shù)a的取值范圍．

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-2y+3

5

=0相切，點A為圓上一動點，AM⊥x軸于點M，且動點N滿

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l與直線l₁垂直且與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

設(shè)關(guān)于x的方程x²-2ax-2a+15=0的兩根模的和為8，求實數(shù)a的值，并求方程的根．