Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-e²x．
（1）若曲線在點(diǎn)（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（0，1）時(shí)，總有f（x）＞xe^x-e²x+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+2ax-e²，利用切線斜率可得a=0．此時(shí)f（x）=e^x-e²x，f′（x）=e^x-e²．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）將不等式f（x）＞xe^x-e²x+1轉(zhuǎn)化為（x-1）e^x-ax²+1＜0．構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-1）e^x-ax²+1＜0．x∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f′（x）=e^x+2ax-e²，得
y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率k=4a=0，
∴a=0．
此時(shí)f（x）=e^x-e²x，f′（x）=e^x-e²．
由f′（x）=0，得x=2．
當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＞xe^x-e²x+1，得
（x-1）e^x-ax²+1＜0．
令g（x）=（x-1）e^x-ax²+1＜0．x∈（0，1），
則g′（x）=x（e^x-2a）．
∵x∈（0，1），
∴1＜e^x＜e．
①當(dāng)2a≤1，即a≤

1

2

時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
∴g（x）＞g（0）=0，不合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)2a≥e，即a≥

e

2

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴g（x）＜g（0）=0，滿足要求．
③當(dāng)1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

時(shí)，令g′（x）=0得x=ln（2a）．
當(dāng)0＜x＜ln（2a）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減．
當(dāng)ln（2a）＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（ln（2a），1）上單調(diào)遞增．
∵g（0）=0，g（1）=-a+1，
∴令g（1）=-a+1≤0得
1≤a＜

e

2

．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)以及在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的解題方法和技巧，屬于難題．