如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂且焦距為2

2

．點M為橢圓E上的一個動點，當(dāng)MF₂垂直于x軸時，恰好|MF₁|：|MF₂|=3：1．已知直線l與圓C：x²+y²=

4

3

相切，且與橢圓E相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）探究

OA

•

OB

是否為定值，若是，求出

OA

•

OB

的值；若不是，請說明理由．

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若點F₂關(guān)于直線y=

b

a

x的對稱點M也在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為．

甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球．從甲，乙兩袋中各任取一個球．
（1）若n=3，求取到的2個球全是紅球的概率；
（2）若取到的2個球中至少有1個為紅球的概率是

5

8

，求n的值．

求證：

C

0 n

+

2C

1 n

+3

C

2 n

+…+(n+1

)C

n n

=2ⁿ+n•2^n-1．

某家電生產(chǎn)企業(yè)市場營銷部對本廠生產(chǎn)的某種電器進行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間T（單位：年）有關(guān)．若T≤2，則銷售利潤為0元；若2＜T≤3，則銷售利潤為100元；若T＞3，則銷售利潤為200元，設(shè)每臺該種電器的無故障使用時間T≤2，2＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別是P₁，
P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）記X表示銷售兩臺該種電器的銷售利潤總和，求X的分布列及期望．

全美職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）某年度總決賽在雷霆隊與邁阿密熱火隊之間角逐，比賽采用七局四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊獲勝，比賽就此結(jié)束．因兩隊實力相當(dāng)，故每場比賽獲勝的可能性相等．據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽組織者可獲門票收入2000萬美元，以后每場比賽門票收入比上場增加100萬美元，當(dāng)兩隊決出勝負(fù)后，問：
（1）組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬元的概率為多少？
（2）某隊在比賽過程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全場勝利稱為“逆襲”，求雷霆隊“逆襲”獲勝的概率；
（3）求此次決賽所需比賽場數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

△ABC中，已知A（-2，11），B（-4，5），C（6，0），求點A在BC上的投影坐標(biāo)．

我校高2014級迎新晚會的舞臺天花板上有前、后兩排共4個燈架，每排2個，每個燈架上安裝了5盞射燈，每盞射燈發(fā)光的概率為

1

2

．若一個燈架上至少有3盞射燈正常發(fā)光，則這個燈架不需要維修，否則需要維修．
（Ⅰ）求恰有兩個燈架需要維修的概率；
（Ⅱ）若前排每個燈架的維修費用為100元，后排每個燈架的維修費用為200元，記ξ為維修燈架的總費用，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，前m項和為S_m（S_m≠0），證明：S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m構(gòu)成公比為 q的m次冪的等比數(shù)列．

已知動圓過點F（-5，0）且與定圓x²+y²-10x-11=0相外切，求動圓圓心的軌跡方程．