Question

全美職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）某年度總決賽在雷霆隊(duì)與邁阿密熱火隊(duì)之間角逐，比賽采用七局四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝，比賽就此結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，故每場(chǎng)比賽獲勝的可能性相等．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽組織者可獲門(mén)票收入2000萬(wàn)美元，以后每場(chǎng)比賽門(mén)票收入比上場(chǎng)增加100萬(wàn)美元，當(dāng)兩隊(duì)決出勝負(fù)后，問(wèn)：
（1）組織者在此次決賽中要獲得門(mén)票收入不少于13500萬(wàn)元的概率為多少？
（2）某隊(duì)在比賽過(guò)程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全場(chǎng)勝利稱(chēng)為“逆襲”，求雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝的概率；
（3）求此次決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）先確定至少要比賽6場(chǎng)，再求出相應(yīng)的概率，即可求出組織者在此次決賽中要獲得門(mén)票收入不少于13500萬(wàn)元的概率為多少？
（2）雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝，可能通過(guò)6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝，分類(lèi)求概率，即可求雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝的概率；
（3）所需比賽場(chǎng)數(shù)ξ是隨機(jī)變量，其取值為4，5，6，7．求出相應(yīng)的概率，即可求此次決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比賽6場(chǎng)．
當(dāng)進(jìn)行比賽6場(chǎng)時(shí)，某一隊(duì)獲勝的概率為P(6)=

5

16

，
當(dāng)進(jìn)行比賽7場(chǎng)時(shí)，某一隊(duì)獲勝的概率為P(7)=

5

16

，
所以收入不少于13500萬(wàn)元的概率為P(6)+P(7)=

5

16

+

5

16

=

5

8

=0.625．
（2）雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝，可能通過(guò)6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝．
當(dāng)6場(chǎng)獲勝時(shí)，則1、2場(chǎng)敗，3、4、5、6勝，概率為(

1

2

)6=

1

64

；
當(dāng)7場(chǎng)獲勝時(shí)，則4勝3敗，
①若前2場(chǎng)都敗，則另外1敗可以任意發(fā)生在第3、4、5、6中的一場(chǎng)，所以“逆襲”獲勝概率為

C

1 4

•(

1

2

)7=

1

32

．②若前2場(chǎng)1勝1敗，則第3、4場(chǎng)必須敗，所以“逆襲”獲勝概率為

C

1 2

•(

1

2

)7=

1

64

，
故雷霆隊(duì)“逆襲”獲勝的概率為

1

64

+

1

32

+

1

64

=

1

16

．
（3）所需比賽場(chǎng)數(shù)ξ是隨機(jī)變量，其取值為4，5，6，7．若比賽最終獲勝隊(duì)在第k場(chǎng)獲勝后結(jié)束比賽，則顯然在前面k-1場(chǎng)中獲勝3場(chǎng)，
從而P(ξ=k)=

C

3 k-1

(

1

2

)k-1，k=4，5，6，7．
①分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

②所需比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是E(ξ)=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確求概率是關(guān)鍵．