已知函數(shù)f（x）=

a

x

+2lnx-1，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

如圖，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E為PB的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-CD-B的余弦值．

某裝修公司根據(jù)客戶要求裝飾一個墻角，施工設計時，在墻面交線AB與天花板ACD之間拉一條“定位線”EF（如圖），已知墻面交線AB、AC、AD兩兩垂直，且AB=2，AC=AD=3．（單位：分米）
（Ⅰ）若點E、F分別為AB、CD的中點，請指出此時直線EF與直線BC的位置關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；
（Ⅱ）若E、F分別在AB、天花板ACD上運動時，始終保持“定位線”EF的長為定值2，記EF的中點為G，試探究線段AG的長是否也為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，客戶提出在點G處安裝一盞裝飾燈，為了美觀和更好地散熱，需將燈安裝在與天花板ACD的距離為

3

3

且與另兩墻距離之和最大處，求此時直線AG平與面BCD所成角的正弦值．

根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率P與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式P=

2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* x2+60 540 ，10≤x≤20，x∈N*

（日產(chǎn)品廢品率=

日廢品量

日產(chǎn)量

×100%）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤Y=日正品贏利額-日廢品虧損額）
（1）將該車間日利潤y（千元）表示為日產(chǎn)x（件）的函數(shù)；
（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：BD₁∥平面AMC；
（Ⅱ）求證：AC⊥BD₁；
（Ⅲ）在線段BB₁上是否存在點P，當

BP

BB1

=λ時，平面A₁PC₁∥平面AMC？若存在，求出λ的值并證明；若不存在，請說明理由．

如圖，在五面體ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求三棱錐B-DEF的體積．

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[0，1]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在區(qū)間（t，2）上總不是單調(diào)函數(shù)，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R），且函數(shù)f（x）的最小值為a．
（1）已知b∈R，設af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數(shù)b的取值范圍；      
（2）設n∈N，證明(

k

n

)n＜

e

e-1

．

如圖，設四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，P為DE上一點 若BE∥平面PAC．
（1）證明：P為ED中點；
（2）若AB=EC=2，AE=BE=

2

，證明：平面EAB⊥平面ABCD．

已知函數(shù)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），求函數(shù)f（x）的導函數(shù)．