Question

如圖，設(shè)四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，P為DE上一點(diǎn) 若BE∥平面PAC．
（1）證明：P為ED中點(diǎn)；
（2）若AB=EC=2，AE=BE=

2

，證明：平面EAB⊥平面ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，交AC于Q，連結(jié)PQ，則直線PQ與直線BE共面于BDE，BE∥平面PAC，PQ?平面PAC，得BE∥PQ，由此能證明P是DE的中點(diǎn)．
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO．由題意，可得△AEB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，得EO⊥AB，再由等邊三角形△ACB的高線CO=

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，得到平方關(guān)系：EC²=EO²+CO²，得EO⊥CO，所以EO⊥平面ABCD，從而得到平面EAB⊥平面ABCD．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，交AC于Q，連結(jié)PQ，
則直線PQ與直線BE共面于BDE，
∵BE∥平面PAC，PQ?平面PAC，
∴BE∥PQ，
∵ABCD為菱形，∴Q是BD中點(diǎn)，
∴P是DE的中點(diǎn)．
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO
∵△AEB中，AE=EB=

2

，
∴AE²+EB²=2=AB²，得△AEB為等腰直角三角形，
∴EO⊥AB，EO=1，
又∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等邊三角形，得CO=

3

2

AB=

3

，
又∵EC=2，∴△ECO中，EC²=4=EO²+CO²，得EO⊥CO，
∵AB、CO是平面ABCD內(nèi)的相交直線，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD．

點(diǎn)評：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量的方法求面面所成角的知識，屬于中檔題．