Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[0，1]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在區(qū)間（t，2）上總不是單調(diào)函數(shù)，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）通過求導(dǎo)求出a的值，從而求出g（x）的表達式，通過解不等式組，求出m的范圍．

解答： 解�。á瘢└鶕�(jù)題意知，f′（x）=

a(1-x)

x

，（x＞0），
當a＜0時，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]．
（Ⅱ）∵f′（2）=-

a

2

=1，
∴a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3．
∴g（x）=x³+（m+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（2m+4）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，2）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(2)＞0

，
由題意知：對于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
∴

g′(0)＜0 g′(1)＜0 g′(2)＞0

，
∴-

9

2

＜m＜-

5

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．